Sviluppando alcuni esercizi sulle derivate scopro il seguente strano comportamento:

(\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2})' = \frac{1}{2}(e^x -(- e^{-x})= \frac{e^x +e^{-x}}{2}

e

(\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2})' = \frac{1}{2}(e^x +(- e^{-x})= \frac{e^x -e^{-x}}{2}

cioè le due funzioni sono reciprocamente l’una la derivata dell’altra. La cosa non deve sembrare impossibile dato che c’entra la funzione e^x che sappiamo essere l’unica funzione che è uguale alla propria derivata.

Incuriosito dalla strana proprietà cerco il grafico delle due funzioni; diciamo f(x) la prima e g(x) la seconda:

Iperbolico

Iperbolico

Il grafico non mi dice niente di particolare salvo confermare la notevole proprietà, già citata, delle derivate: l’una è la derivata dell’altra. Per esempio: dove la f(x) è negativa la g(x) è decrescente; mentre la g(x) essendo sempre positiva indica che la f(x) è sempre crescente.

Forse mi conviene continuare con le derivate: per esempio il quoziente h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

se facciamo la derivata:

h(x)' = \displaystyle \frac{(e^x+e^{-x})^2 -(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - \frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - h(x)^2

però mi viene un’idea: nei quadrati al numeratore compaiono le originali funzioni f(x) \text{ e } g(x) salvo che non hanno un 2 al denominatore; se moltiplico numeratore e denominatore per 4 posso avere il 2 dentro il quadrato; insomma:

h(x)' = \displaystyle \frac{4(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2 -4(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2}{4(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2} = \frac{4}{4} \frac{(g(x))^2 - (f(x))^2 }{(g(x))^2}

= \displaystyle \frac{(g(x))^2 - (f(x))^2 }{(g(x))^2}

riassumendo:

h(x)' = 1 - h(x)^2 = \displaystyle \frac{g(x)^2 - f(x)^2}{g(x)^2}

mi pare decisamente che assomigli a qualcosa che abbiamo già visto, roba goniometrica:

\tan x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}

(\tan x) ' = \displaystyle (\frac{\sin x}{\cos x})' = 1 -(\tan x)^2 = \frac{(\cos x)^2 + (\sin x)^2}{(\cos x)^2} =

= \displaystyle \frac{1}{(\cos x)^2}

decisamente rassomigliante, la differenza è solo un piccolo segno meno. Diciamo che c’è un solo modo per stabilire fino a dove la rassomiglianza si spinge: vedere cosa ne è del teorema di Pitagora: ho il vago sospetto che il teorema si trasformi da somma di quadrati in differenza di quadrati, voi no?

g(x)^2 - f(x)^2) = \displaystyle (\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2 =

\displaystyle \frac{e^{2x} +2e^x e^{-x} + e^{-2x} }{4} - \frac{e^{2x} -2e^x e^{-x} + e^{-2x} }{4}=

= \displaystyle \frac{e^{2x} +2e^x e^{-x} + e^{-2x} -e^{2x} +2e^x e^{-x} - e^{-2x}}{4} = \frac{4e^x e^{-x} }{4} = e^x e^{-x} = 1

bingo.

g(x)^2 - f(x)^2) = 1 e quindi

h(x)' = 1 - h(x)^2 = \displaystyle \frac{1}{g(x)^2}

da cui deduco che f(x) e g(x) sono una specie di seno e coseno di qualche cosa;

adesso il bello sarebbe cercare una curva nella quale il teorema di Pitagora applicato a non so quali cateti, abbia l’espressione che abbiamo trovato; mi pare di ricordare che in laboratorio di matematica si erano viste curve alle quali appartiene anche la circonferenza; chissà se fra quelle ce né una che fa al caso nostro: sarà meglio chiedere alla prof. De Poli.