Nel precedente post su questo argomento ci eravamo ripromessi di cercare una curva simile alla circonferenza nella quale però, in qualche modo, il teorema di Pitagora si trasforma in differenza di quadrati, o qualcosa di simile.

L’idea di partenza è che abbiamo due funzioni che soddisfano l’equazione

\displaystyle g^2(x) - f^2(x) = 1

invece che la classica equazione del teorema di Pitagora

\displaystyle \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1

dove abbiamo posto

f(x)= \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}

g(x)= \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}

Sappiamo che se poniamo \cos x = X e \sin x = Y

otteniamo l’equazione X^2 + Y^2 = 1 cioè una circonferenza di centro l’origine e raggio 1

mentre se poniamo g(x) = X e f(x) = Y

otteniamo l’equazione X^2 - Y^2 = 1

Chi ha qualche nozione di geometria analitica sa che questa è l’equazione di una iperbole equilatera ma noi vediamo di studiarla come funzione.

Esplicitando abbiamo Y = \pm \displaystyle \sqrt{X^2-1}. Studiamo la funzione Y = \displaystyle \sqrt{X^2-1}

Dominio X \leq -1 \quad \cup \quad X \geq 1

simmetria pari f(-X) = f(X)

Assi (1,0) (-1,0)

Positiva: sempre Continua: sempre

Limiti estremi e asintoti: \lim_{X \to \pm \infty} Y = + \infty

vi è la possibilità di asintoti obliqui: m = \lim_{X \to + \infty}\frac{Y}{X} = \lim_{X \to + \infty}\frac{\sqrt{X^2-1}}{X}=

\lim_{X \to + \infty}\sqrt{\frac{X^2-1}{X^2}} = 1

analogamente

m_1 = \lim_{X \to - \infty}\frac{Y}{X} = \lim_{X \to - \infty}\frac{\sqrt{X^2-1}}{X}=

\lim_{X \to - \infty} -\sqrt{\frac{X^2-1}{X^2}} = -1

q = \lim_{X \to + \infty} Y-mx = \lim_{X \to + \infty} \sqrt{X^2-1} -X= 0

analogamente q_1 = 0

quindi gli asintoti obliqui sono Y=X e Y = - X

Derivabilità, crescenza, decrescenza: la derivata è Y' = \frac{X}{\sqrt{X^2-1}} che è positiva per X >0 e negativa altrimenti. Quindi la funzione sarà decrescente per X <0 e crescente altrimenti.

La funzione Y= -\sqrt{X^2-1} è simmetrica della precedente rispetto all’asse X. Quindi finalmente il grafico dell’iperbole equilatera:

Iperbole

Iperbole

A questo punto conviene dare un nome più significativo alle funzioni g(x) e f(x); per analogia definiamo g(x) = \cosh x coseno iperbolico e f(x) = \sinh x seno iperbolico.

Concludendo: se partiamo da una iperbole equilatera invece che da una circonferenza e definiamo \cosh x e \sinh x come rapporto di cateti/qualcosa del triangolo corrispondente (non può essere l’ipotenusa evidentemente perchè in questo caso è variabile) otteniamo delle funzioni che definiscono una goniometria che non è circolare ma iperbolica.

Non ci resta che studiare questa nuova goniometria.

P.S.

Naturalmente avrete capito che questa roba non è invenzione mia, non sono così perverso; si tratta di argomenti classici dell’analisi matematica. In particolare le funzioni iperboliche compaiono spesso come soluzioni di equazioni differenziali e nel calcolo integrale. magari avremo occasione di vederne qualcuna.