Teorema di Pitagora

Leggo (in ritardo) questo interessante post di Terry Tao sul teorema di Pitagora. Mi è piaciuto tanto che lo riproduco qui tradotto in italiano.

Nel triangolo rettangolo ABC, tracciata l’altezza AD, si formano due triangoli simili ABD e ACD a loro volta simili ad ABC (hanno gli angoli non retti congruenti perché complementari di angoli congruenti) ; indicato con x l’area di ABD e con y l’area di ACD si ha che l’area di ABC è x+y. Nei triangoli simili le aree sono proporzionali ai quadrati delle rispettive ipotenuse, quindi la terna (x,y,x+y) è proporzionale alla terna (c^2,b^2,a^2) e cioè kc^2+kb^2=ka^2 e quindi c^2+b^2=a^2 che è il nostro teorema.

I colleghi che insegnano geometria mi perdoneranno se questa dimostrazione è ben nota e alla fine si scopre che l’unico a non conoscere questa dimostrazione ero io.

Però, forse non tutti sanno che …

L’equazione c^2+b^2=a^2 è equivalente a dire che il determinante della matrice \begin{pmatrix} c & b \\ -b & c  \end{pmatrix} è uguale a quello di \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a  \end{pmatrix}. E’ facile vedere geometricamente che le trasformazioni lineari associate alle due matrici differiscono per una rotazione. Da cui il teorema.

Esercizio: dimostrare che le due dimostrazioni sono “essenzialmente” la stessa.

 

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3 risposte a Teorema di Pitagora

  1. ALESSIO DAMIANO ha detto:

    …be….mettendo in pratica il metodo di cramer l’equazione che viene fuori è equivalente alla formula del teorema di Pitagora, coincide!!

  2. bobcarr ha detto:

    @igor sei sicuro di aver capito bene le dimostrazioni, in particolare la seconda? forse sarebbe il caso che tu la esplicitassi un pochetto anche per altri lettori.

  3. Igor R. ha detto:

    Non vorrei sporcare questo post con u7n intervento inutile…
    però stando un pò a ragionare sul problema posto…noto che entrambe le dimostrazioni sono valide o almeno credo ma una somiglianza tra le due pur ragionando non riesco a coglierla…dimostrano al stessa cosa ma in che senso sono praticamente uguali??proprio non riesco a dimostrarlo O_o…. mi scuso se ho capito male il concetto

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