lo sviluppo in serie delle funzioni seno e coseno

Sono un insegnante del Volterra di San Donà di Piave ed ho l’onore (è l’onere) di poter scrivere su questo blog. Questa è la mia prima uscita.

È difficile per me scrivere su un blog, perché sono abituato a rifinire tutto quello che in qualche modo va presentato a qualcun altro, ma questa operazione allunga terribilmente i tempi, per cui non è adatta al blog. Il blog dovrebbe essere agile e quindi le correzioni formali dovrebbero essere ridotte al minimo. Ma il risultato, che immagino si riduca a una collezione di idee, dovrebbe essere comunque comprensibile. Il vantaggio potrebbe essere quello di mostrare più da vicino le cose quando sono ancora in cantiere (se questo è un vantaggio).

In questa mia prima uscita mi occuperò di matematica, senza entrare nei massimi sistemi, ma da matematico dilettante, che non è laureato in matematica, ma che ha sempre avuto la passione della matematica.

Da matematico dilettante mi interesso di matematica così a ruota libera, spaziando a caso da un argomento all’altro anche in modo non rigoroso, visto che non ho il vincolo di dover attenermi ad un programma ministeriale.

Uno degli ultimi “problemini” in cui sono “incappato” riguarda le funzioni trigonometriche, le quali sono funzioni trascendenti. Allora mi sono chiesto: esiste un modo semplice, o anche solo alternativo al classico apparato per lo sviluppo in serie ? E ho cominciato a cercare (in alternativa potevo cercare su internet una soluzione del problema già preconfezionata, ma personalmente ci tengo molto a trovare da solo la soluzione dei miei problemi, anche se so che non sarò stato certo il primo. Questa è la questione fondamentale dei dilettanti, lavorare sapendo che il proprio lavoro non serve proprio a nulla perché l’ha già fatto qualcun altro. Perché lo facciamo ? forse solo perché ci piace farlo, è più forte di noi e ci prende). Si tratta ovviamente di approssimare le funzioni seno e coseno e ho cominciato disegnandomi il cerchio goniometrico.

Sono partito dalla classica disequazione: senx<x<tanx, di archimediana memoria, da cui ho tratto che: senx<x e senx>xcosx e una prima approssimazione del seno e del coseno: senx=x e cosx=1. Come passo successivo, ho cercato di ottenere una approssimazione migliore, e dopo un sacco di prove grafiche e analitiche sono atterrato su questa equazione: cosx=1- 2sen² (x/2). Questa semplice formula ha una magia: è in grado di restituire lo sviluppo del coseno, se uno conosce lo sviluppo del seno. Infatti: sen²(x/2)<x²/4 e cosx>1-x²/2. l’approssimazione sul coseno ha fatto un passo in avanti! È facile verificare che il risultato è del tutto generale e che se ho uno sviluppo del seno fino al termine n allora ottengo l’esatto sviluppo del coseno fino al termine n+1. A questo punto ho due strade: o rimedio uno sviluppo indipendente del seno, oppure cerco di ottenere lo sviluppo del seno da quello del coseno, chiudendo in un certo senso la catena (dal seno vado al coseno con un termine in più e dal coseno torno al seno sempre con un termine in più, con il quale miglioro l’approssimazione sul coseno e così via). Uno sviluppo indipendente mi sembra difficile in quanto dovrei in qualche modo introdurre funzioni cubiche ecc. Come posso fare? Ho cercato comunque uno sviluppo del seno ed allora mi sono detto: per migliorare l’approssimazione ho bisogno di un cerchio di raggio più grande. Un modo ragionevole mi è parso quello di prendere un nuovo centro sulla circonferenza dalla parte opposta alla direzione X (X grande: asse cartesiano delle ascisse). Angolo alla circonferenza metà dell’angolo al centro, quindi: senx=√((1+cosx)²+ sen²x)*senx/2. Come era da aspettarsi c’è dentro il coseno, quindi sono nella seconda alternativa. Poco male. Provo a fare i conti e ottengo:senx=(x/2)*√(2+2cosx) e usando l’approssimazione del coseno: senx=x*√(1-x²/4). Non è proprio il massimo, anche se so che la radice la posso approssimare con (1-½*x²/4), ottengo comunque senx=x-x³/8 (fratto 8 invece che fratto 6). Ci ragiono un po’ e trovo che per eliminare la radice ho a disposizione il cos(x/2). Ottengo: senx=2cos(x/2) sen(x/2). Però il risultato con cambia di una virgola, anche se mi sono liberato della radice. In un certo senso è come se avessi dimostrato non lo sviluppo del seno, ma quello della radice! Forse il problema è che devo fare ricorso non solo ad una espressione approssimata del coseno, ma anche del seno, anche se di un angolo inferiore. Ma non c’è modo di esprimere trigonometricamente un seno solo in funzione di coseni. C’è sempre un seno residuo da qualche parte. Se provo ad eliminarlo mi rispunta la radice!

I matematici dilettanti hanno la triste reputazione di non gettare mai la spugna anche quando non resterebbe altro da fare. Infatti continuo imperterrito e scopro una discesa infinita: se senx=2cos(x/2) sen(x/2), allora sen(x/2)=2cos(x/4) sen(x/4). Ed allora: senx=4cos(x/2)cos(x/4) sen(x/4) e così via. Allora provo a fare un po’ di conti e trovo: senx=4(x/4)*(1-½*x²/2²) (1-½*x²/4²)=x- (x²/2)*(1/2²+1/4²)+…=x-5x²/32. Se invece di 32 fosse 30 sarebbe ok, invece devo per forza fare tutta la discesa. Ormai che ci sono. È anche fattibile visto che devo prendere solo i termini con x². Trovo: senx=x-(x²/2)*k, con k=1/2²+ 1/4²+1/8²+… mi accorgo di avere ottenuto, a meno di una unità, una serie geometrica di ragione ¼ ed allora trovo: k=1/(1-¼) -1=1/3. Proprio quello che volevo. Il tutto è però molto macchinoso e non mi soddisfa. Allora cerco in un’altra direzione, ma le uniche relazioni alternative alla trigonometria che trovo sono la derivata e l’integrale. Scarto subito la derivata, in quanto vedo che mi fa sì passare da coseno a seno, ma senza migliorare la approssimazione: senx=-d(cosx)/dx=-d(1-x²/2)/dx=x.

Non mi rimane che provare con l’integrale. Scrivo: senx=∫(cosxdx) e ottengo: senx=∫(1-x²/2)dx=x-x³/6. è proprio la relazione che mi serve per chiudere il cerchio.

Prima di chiudere soddisfo un’ultima curiosità: se invece di usare la espressione cosx=1- 2sen²(x/2), usassi anche qui l’integrale? Provo, ma accidenti le cose non funzionano! Ottengo infatti: cosx=-∫(senxdx)=-∫(xdx)=-x²/2. C’è una costante di integrazione da aggiustare ed allora calcolo tra 0 e x: ∫(sentdt) = -cosx+1 e pertanto ottengo: cosx=1-∫(senxdx). Adesso i conti tornano.

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3 risposte a lo sviluppo in serie delle funzioni seno e coseno

  1. Pingback: 2010 in review « In teoria

  2. Pagotten ha detto:

    …a me viene male a cercare di capire queste cose…

  3. bobcarr ha detto:

    Caro Beniamino era ora che ti facessi sentire. Ho dovuto rendere visibili solo le prime righe del tuo scritto per questioni di spazio; le altre sono visibili cliccando sul link sottostante. Ho anche aggiunto la categoria e il tag che permettono di classificare il post. Per il contenuto non ho avuto tempo di vedere ma lo farò. Adesso dovresti imparare a inserire i comandi latex direttamente nello scritto, ma ne parleremo a scuola.

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