dama a croce greca

In questo secondo articolo propongo all’attenzione dei navigatori navigati un giochino che spero rilassante: una variante di dama fatta, invece che con le solite 32 caselle nere disposte in diagonale, con 33 buchi disposti su righe e colonne. Mancano i quattro buchi adiacenti ad ogni angolo, per cui la forma ricorda quella di una croce greca (siccome non so come si chiama, la chiamerò dama a croce greca. Aspetto rettifiche). Le pedine sono sostituite da tasselli cilindrici che si infilano nei buchi. Si gioca da soli. Si può vederla dal punto di vista informatico (fare un programma che consenta di giocare alla dama a croce greca), dal punto di vista della strategia di gioco, dal punto di vista della simmetria e, quello che mi ha attratto di più e che svilupperò qui, anche per le implicazioni sui metodi della matematica che si possono fare.Le regole di gioco sono molto semplici. Siccome si gioca da soli si inizia con tutti i tasselli inseriti e quindi con tutte le buche riempite. Poi si toglie un tassello a caso e si prosegue cercando di mangiare tanti più tasselli che si riesce.

Si mangia come nella dama, ma nelle direzioni orizzontale e verticale, non in diagonale, in entrambi i versi (N-S, E-O). Come nella dama si può mangiare il tassello adiacente solo se il buco di atterraggio, situato subito oltre il tassello che si desidera mangiare, è libero. Esempio: T_A T_B :: -> :: :: T_B

Il problema informatico mi sembra dimensionato bene per uno che desideri esercitarsi con programmi tipo GIAVA.

Dal punto di vista della strategia di gioco è interessante vedere come un principiante (una qualunque persona che non ha mai giocato prima alla dama a croce greca) si muove all’inizio. Ho visto di tutto. Gente che parte con grande sicurezza e muove come se fosse spinta da un senso magico (motto: non pensare, agire), altri che invece stanno lì a rodersi tenendo l’ennesimo tassello tra le mani inserito a metà e poi ritolto (motto: pensare, pensare, e pensare, che ad agire c’è sempre tempo). Alcuni elaborano fin da subito una strategia complessiva, altri invece fanno fatica a togliere i tasselli che hanno appena mangiato. Il risultato iniziale mi pare un classico compromesso tra la strategia elaborata e il caso. Infatti raramente alla fine rimane un solo tassello, un risultato che io ho battezzato “forza uno”, ci vuole proprio molta fortuna. Il più delle volte si arriva a diversi tasselli talmente lontani tra loro da non essere più mangiabili. Personalmente penso che possa essere un buon terreno per valutare l’intelligenza strategica (un mio brutto nome per intendere quel tipo di intelligenza che utilizziamo per elaborare delle strategie finalizzate ad un obiettivo) delle persone.

Altro tema interessante è quello delle simmetrie: c’è una prima simmetria corrispondente ad una rotazione di 90° ed altre simmetrie. La domanda è: c’è un gruppo di simmetrie connesso con la dama a croce greca e se sì quale? Confesso che non ho ancora provato a rispondere, perché l’ultima questione mi ha attirato molto, ma molto di più.

In effetti mi sono reso conto dopo un po’ che giocavo, che ci sono delle straordinarie affinità con le regole e i metodi della matematica.

Provo ad evidenziarli e a tale scopo mi pongo il seguente obiettivo di gioco (forza uno): tolto inizialmente un qualunque tassello, riuscire a mangiare tutti gli altri tasselli ad eccezione di uno.

Beh, la situazione iniziale: dama con tutti i tasselli eccetto uno, non è affine all’ipotesi di un teorema? Direi proprio di sì.

La situazione finale: dama con tutte le buche libere, ad eccezione di una, direi che è invece affine alla tesi di un teorema.

Allora il percorso tra la situazione iniziale e quella finale è proprio affine alla dimostrazione.

Naturalmente una simile corrispondenza si può fare anche con altri giochi, ma differenza sta nel fatto che gli altri giochi si giocano in più persone (dama, scacchi, bridge, ecc) e/o sono molto più complessi (cubo di Rubik), per cui il vantaggio diventa meno interessante, o comunque fruibile. Posso usare la dama a croce greca come una rappresentazione concreta, anche a distanza, di un processo dimostrativo. Invece ho difficoltà a spiegare anche solo gli operatori più banali del cubo di Rubik, che pur conosco, senza averlo sottomano.

Tutto il processo dimostrativo è condotto così ad un tragitto spaziale, dove ogni mossa rappresenta l’applicazione di una regola formale e fa avanzare il processo in modo irreversibile in una direzione, che non è detto conduca poi alla tesi. La mossa stessa rappresenta sostanzialmente una implicazione logica del tipo: se T_A T_B :: allora :: :: T_A , in pratica una forma rudimentale di “modus ponens”. Solo esplorando un percorso completo dopo l’altro riesco a capire se la tesi è dimostrabile. Anzi vedo benissimo che posso avere due casi: o mi imbatto in un percorso che, senza barare, porta alla tesi, e allora ho dimostrato il teorema, oppure ho percorso tutte le strade possibili, senza mai arrivare alla tesi, e solo allora posso dire di aver dimostrato la tesi contraria. (in questo caso è possibile dimostrare la tesi contraria perché i percorsi possibili, pur tantissimi, sono comunque in numero finito. Mi fa venire in mente la dimostrazione del teorema di Fermat, un classico caso di questo tipo. Ecco perché questa dimostrazione è lunga: deve percorrere tutte le strade possibili).

Si capisce anche il senso di tanti teoremi dalle ipotesi (ops dovrei dire dalla ipotesi ?) condite da tanti e tanti ..se … sono assimilabili a dei finali di partita. Un finale di partita è una partita che invece di partire dall’inizio parte da una situazione ormai semplificata. Ad esempio negli scacchi si presenta un re nero circondato da tre pezzi bianche e si dice: il bianco matta in due mosse. Nel finale la situazione è così semplificata che la tesi è facilmente dimostrabile. La maggior parte dei teoremi sono allora dei “finali” di partita? Sembrerebbe di sì. Il vantaggio è che, se riesco a sbrogliare la matassa in una serie di situazioni semplificate, allora poi ho il compito, che spero più semplice, di, partendo dall’inizio, o da una situazione meno semplificata, raggiungere uno dei finali di partita che so gestire. In pratica ciò equivale a scomporre la dimostrazione di un teorema in tanti pezzettini (i famosi corollari ?) e che si collegano l’uno all’altro. Bello no?

Altra cosa interessante che per costruire il percorso sto in realtà muovendomi come i gamberi, parto cioè dalla tesi e ritorno verso l’ipotesi! In effetti questo è quello che si fa ad esempio quando si dimostra un teorema per assurdo.

Vi sono infatti delle configurazioni di tasselli non più riducibili (togliere ad esempio i tasselli a righe alterne uno si e uno no), alcune delle quali sembra non siano raggiungibili, dalla posizione iniziale. Come fare per dimostrarlo? La strategia di provare e riprovare, come già detto, diventa molto lunga visto che presupponiamo debba dare esito negativo in tutti i casi. Allora conviene partire dalla configurazione finale e, facendo i passi contrari (bisogna applicare a rovescio la regola), si mostra a volte molto facilmente che non consente mai di reinserire tutti i piolini. Una bella dimostrazione per assurdo.

Mi immagino un sacco di persone a caccia di una dama greca che in realtà avrà chissà quale altro nome!

Alla prossima.

Ben Bort

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Una risposta a dama a croce greca

  1. bobcarr ha detto:

    caro benbort il tuo giochino sarà anche rilassante ma le considerazioni che fai lo sono molto meno: nel senso che uno deve spaccarsi il cranio altro che rilassamento.

    Comunque un paio di note così, al volo:
    1) bella l’idea di assimilare il gioco ad un teorema con ipotesi = situazione iniziale, tesi = situazione finale, percorso = dimostrazione; capisco anche che la dimostrazione consiste nell’esplorare tutte le strade possibili (finite) e quindi concludere; non capisco però il riferimento al teorema di Fermat; la sua dimostrazione non consiste nell’esplorare un certo numero di strade possibili; direi piuttosto che la dimostrazione o le dimostrazioni (ne esistono certamente più d’una) sono immerse in un brodo infinito di possibilità che non conducono da nessuna parte; ricordo anche che l’enunciato del teorema avrebbe potuto essere indecidibile, nel qual caso una dimostrazione non sarebbe esistita e neanche quella che dimostra il contrario. Tento di riportare quì, per i lettori interessati l’enunciato del famoso ultimo teorema di Fermat (ora teorema di Fermat-Wiles)

    l’equazione x^n + y^n = z^n dove x,y,z sono numeri interi, non ha soluzioni non banali se n > 2
    ovviamente ne ha infinite se n=2 perché si tratta del teorema di Pitagora.
    Beh il commento è anche troppo lungo, magari ne farò un altro più avanti

    ps
    nell’esempio di mossa forse volevi dire: T_A T_B :: - > :: :: T_A

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