M4.1 Derivate e affini

Come per la classe III, anche per la IV inauguro una serie di post con suggerimenti, problemi e cose da sapere. Osserviamo che gli argomenti di classe IV sono preceduti da M4 e da un numero progressivo, oltre che da un titolo. Più avanti, quando saranno numerosi, sarà facile ricercarli anche perché sono catalogati nella categoria Matematica.M4.

Passiamo al dunque: ecco un elenco di teoremi, enunciati, definizioni ecc, utili per la preparazione alla prossima verifica di Teoria:

  • Definizione di funzione continua in un punto x_0
  • Dimostrare che la funzione f(x) = e^x è continua \forall x \in R
  • Dimostrare che la funzione g(x) = \frac{1}{x-1} è continua \forall x \in R \quad x\neq 1
  • Enunciato dei teoremi di Weierstrass.
  • Definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto
  • Definizione di derivata di una funzione in un punto
  • interpretazione geometrica della derivata di una funzione in un punto
  • Definizione di funzione derivata
  • Dimostrare la formula di derivazione D_x(x^n) = nx^{n-1} mediante l’uso del binomio di Newton
  • Dimostrare la formula precedente mediante uso di induzione matematica
  • Dimostrare che la derivata di e^x è e^x
  • Dimostrare che la derivata di \ln x è \frac{1}{x}
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9 risposte a M4.1 Derivate e affini

  1. bobcarr ha detto:

    le cose belle non si avverano MAI.

  2. vianello ha detto:

    oppure domani si prende una bella giornatadi riposo e il compito lo facciamo il mercoledì di ritorno no?? che bello sarebbe vero prof?

  3. vianello ha detto:

    magari si…per buone vacanze…

  4. bobcarr ha detto:

    a proposito: non crederete mica che vi metta proprio QUESTI esercizi no?

  5. bobcarr ha detto:

    avendoci preso gusto: ultimo esercizio:

    \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x_0+ \Delta x)-\ln (x_0)}{\Delta x} =

    per le proprietà dei logaritmi

    \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(\frac{x_0+ \Delta x}{x_0})}{\Delta x} =

    ancora proprietà dei logaritmi

    \lim_{\Delta x \to 0} \ln (1+ \frac{\Delta x}{x_0})^{\frac{1}{\Delta x}} =

    continuità della funzione logaritmo

    \ln \lim_{\Delta x \to 0} (1+ \frac{\Delta x}{x_0})^{\frac{1}{\Delta x}} =

    poniamo \Delta x = \frac{1}{t} e quindi t \to \infty

    e applicando il limite fondamentale \lim_{ x \to \infty} (1+ \frac{\alpha}{x}) = e^{\alpha} finalmente si ha

    \ln \lim_{t \to \infty} (1+ \frac{1}{x_0 t})^t = \frac {1}{x_0}

    fantastico no?

  6. bobcarr ha detto:

    Penultimo esercizio:

    \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_0+ \Delta x}-e^{x_0}}{\Delta x} =
    \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_0} (e^{ \Delta x}-1)}{\Delta x} =
    e^{x_0}

    utilizzando il limite fondamentale

    \lim_{ x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1

    in bocca al lupo

  7. Steve Harris ha detto:

    Ora, così, prenderò 18000 nella verifica… grazie…

  8. thethird ha detto:

    Mitico! Tutto ciò di cui avevo bisogno 🙂

  9. vianello ha detto:

    grazie mille prof.

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