M4.4 Strano comportamento

Sviluppando alcuni esercizi sulle derivate scopro il seguente strano comportamento:

(\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2})' = \frac{1}{2}(e^x -(- e^{-x})= \frac{e^x +e^{-x}}{2}

e

(\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2})' = \frac{1}{2}(e^x +(- e^{-x})= \frac{e^x -e^{-x}}{2}

cioè le due funzioni sono reciprocamente l’una la derivata dell’altra. La cosa non deve sembrare impossibile dato che c’entra la funzione e^x che sappiamo essere l’unica funzione che è uguale alla propria derivata.

Incuriosito dalla strana proprietà cerco il grafico delle due funzioni; diciamo f(x) la prima e g(x) la seconda:

Iperbolico

Iperbolico

Il grafico non mi dice niente di particolare salvo confermare la notevole proprietà, già citata, delle derivate: l’una è la derivata dell’altra. Per esempio: dove la f(x) è negativa la g(x) è decrescente; mentre la g(x) essendo sempre positiva indica che la f(x) è sempre crescente.

Forse mi conviene continuare con le derivate: per esempio il quoziente h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

se facciamo la derivata:

h(x)' = \displaystyle \frac{(e^x+e^{-x})^2 -(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - \frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - h(x)^2

però mi viene un’idea: nei quadrati al numeratore compaiono le originali funzioni f(x) \text{ e } g(x) salvo che non hanno un 2 al denominatore; se moltiplico numeratore e denominatore per 4 posso avere il 2 dentro il quadrato; insomma:

h(x)' = \displaystyle \frac{4(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2 -4(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2}{4(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2} = \frac{4}{4} \frac{(g(x))^2 - (f(x))^2 }{(g(x))^2}

= \displaystyle \frac{(g(x))^2 - (f(x))^2 }{(g(x))^2}

riassumendo:

h(x)' = 1 - h(x)^2 = \displaystyle \frac{g(x)^2 - f(x)^2}{g(x)^2}

mi pare decisamente che assomigli a qualcosa che abbiamo già visto, roba goniometrica:

\tan x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}

(\tan x) ' = \displaystyle (\frac{\sin x}{\cos x})' = 1 -(\tan x)^2 = \frac{(\cos x)^2 + (\sin x)^2}{(\cos x)^2} =

= \displaystyle \frac{1}{(\cos x)^2}

decisamente rassomigliante, la differenza è solo un piccolo segno meno. Diciamo che c’è un solo modo per stabilire fino a dove la rassomiglianza si spinge: vedere cosa ne è del teorema di Pitagora: ho il vago sospetto che il teorema si trasformi da somma di quadrati in differenza di quadrati, voi no?

g(x)^2 - f(x)^2) = \displaystyle  (\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2 =

\displaystyle \frac{e^{2x} +2e^x e^{-x} + e^{-2x} }{4} - \frac{e^{2x} -2e^x e^{-x} + e^{-2x} }{4}=

= \displaystyle  \frac{e^{2x} +2e^x e^{-x} + e^{-2x} -e^{2x} +2e^x e^{-x} - e^{-2x}}{4} = \frac{4e^x e^{-x} }{4} = e^x e^{-x} = 1

bingo.

g(x)^2 - f(x)^2) = 1 e quindi

h(x)' = 1 - h(x)^2 = \displaystyle \frac{1}{g(x)^2}

da cui deduco che f(x) e g(x) sono una specie di seno e coseno di qualche cosa;

adesso il bello sarebbe cercare una curva nella quale il teorema di Pitagora applicato a non so quali cateti, abbia l’espressione che abbiamo trovato; mi pare di ricordare che in laboratorio di matematica si erano viste curve alle quali appartiene anche la circonferenza; chissà se fra quelle ce né una che fa al caso nostro: sarà meglio chiedere alla prof. De Poli.

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5 risposte a M4.4 Strano comportamento

  1. Mr.Pirrotta ha detto:

    perkè il post in risposta a musica e matematica è finito qua?

  2. Mr.Pirrotta ha detto:

    “Tutta la musica, che sembra qualcosa di astratto(non che la matematica non lo sia) e immaginario, in realtà sottostà alle leggi della matematica”

    Secondo me questa frase non è del tutto esatta. Detta così sembra che per fare musica basti rispettare alcune regole prefissate. Volendo si potrebbe fare anche in questo modo, ma credo che salterebbero fuori solo canzoni “fredde”, e tutti suonerebebro allo stesso modo. La musica è fatta anche di note suonate nel momento giusto e nel modo giusto in un contesto adeguato ( es. improvvisazaione con scala pentatonica minore di la in un Blues in la ) non c’è una regola matematica che dica quando sia giusto o sbagliato introdurre una terza maggiore per creare un determinato effetto ( in questo caso si può dire che l’effetto sia quello di aggiungere ” un pò di allegria”)… detto questo complimenti per il post che ritengo molto interessante.

  3. morritz ha detto:

    Interessante prof, ho seguito un pò a stento ma ho capito il ragionamento.
    Naturalmente io non ci sarei mai arrivato.

    Giulio “Morritz” Moretto

  4. bobcarr ha detto:

    @igor hehehehe …

  5. Igor R. ha detto:

    prof lei è malato…..
    …malato di matematica 😄
    complimenti ottimo ragionamentpo…se vede che c’è passione quando si vedono certe cose…..
    e pensi un pò..l’ho capito tutto 😄
    però mi sorge un dubbio..perchè lei ha dteto che leggendo questo post si poteva puntare a un voto superiore al 7??? trucco per far leggere il post o messaggio subliminale per dire che sentra con il compito?? mi risponda se può ^^

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