M5.1 Domande

Inauguro anche per la classe V una serie di post tecnici. In questo primo – come concordato – propongo alcune domande che farei in caso di colloquio d’esame, ad uso esercizio personale degli studenti di buona volontà. Volutamente le domande sono sparse in modo casuale su tutto il programma; a seguire altre proposte.

Serie

  1. Enunciare il criterio generale di convergenza di Cauchy per le serie numeriche.
  2. Descrivere la serie armonica generalizzata o serie di Riemann.
  3. Una serie a segni alterni può essere divergente?
  4. Quali sono le condizioni per cui una funzione f(x) risulti sviluppabile in serie di Mc Laurin?
  5. Trovare lo sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione f(x) = \sin 3x^2
  6. Supponendo di essere in mezzo al deserto e di dover calcolare un valore approssimato di \ln 2, non avendo a disposizione che carta e penna, come si potrebbe fare? (ma cosa ci fate in mezzo al deserto senza niente, neanche un portatile?)

Equazioni differenziali

  1. Enunciare il teorema di Cauchy per le equazioni del primo ordine.
  2. Il teorema di Cauchy è applicabile alla equazione y'=\displaystyle \frac{y}{x-1} + \ln x nel punto P(-1,2)? e nel punto Q(1,2)?
  3. Data l’equazione y'=1+xy disegnare approssimativamente il campo di direzioni utilizzando le linee di livello della derivata (isocline).
  4. Risolvere l’equazione precedente confermando che l’andamento delle curve soluzione è quello preannunciato dal campo di direzioni.
  5. Definizione di integrale particolare di una equazione differenziale.
  6. Enunciare il teorema di Cauchy per le equazioni del secondo ordine.
  7. Descrivere un problema di Cauchy del secondo ordine.
  8. Descrivere il Wronskyano di due funzioni y1 e y2.
  9. E’ corretto dire che una equazione del secondo ordine ha infinite soluzioni?
  10. Trovare l’integrale generale dell’equazione y'' - 2 y' = 0
  11. E’ corretto dire: trovare la funzione soluzione dell’equazione y'' -y = 0 passante per il punto P_0(0,1) ?
  12. Dove esattamente intervengono le equazioni di Eulero nella formulazione delle soluzioni complesse di una equazione lineare del secondo ordine?

Integrali

  1. Definizione di primitiva e di integrale indefinito di una funzione.
  2. Illustrare il metodo di sostituzione.
  3. Una frazione razionale (cioè il rapporto di due polinomi) è sempre integrabile?
  4. Definizione di integrale definito per una funzione in un intervallo.
  5. Illustrare la relazione fra integrale indefinito e definito.
  6. Si può calcolare l’area di una qualsiasi figura piana mediate integrale definito?
  7. Calcolare l’integrale \int \sin x \sin 5x dx
  8. Calcolare l’integrale \int \frac{\sin x}{\cos^3x}e^{\tan x} dx mediante integrazione per parti.
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7 risposte a M5.1 Domande

  1. no il gioco è impossibile
    ma “impossible is nothing”

  2. bobcarr ha detto:

    quando il gioco si fa duro …

  3. e basta…
    ormai quello che è in barca è in barca…

  4. bobcarr ha detto:

    non è più finita:

    Serie

    23) Definizione (PRECISA) di serie numerica.
    24) Definizione (PRECISA) di serie di funzioni.
    25) Definizione (PRECISA) di serie di potenze.
    26) Definizione (PRECISA) di dominio di convergenza.
    27) Dare un esempio di serie che abbia dominio di convergenza semplice diverso dal dominio di convergenza assoluta.
    28) Definire la serie geometrica e stabilirne il domino di convergenza semplice e assoluto.
    29) Enunciare il teorema di integrazione per serie e il teorema di derivazione per serie.
    30) Che ne direste di un esempio per entrambi?
    31) Determinare il dominio di convergenza della serie \sum_1^{+\infty} \frac{\sqrt n}{(x-2)^n}
    32) Illustrare la differenza fra la formula di Taylor e la serie di Taylor.
    33) Analogamente per la formula di Mc Laurin
    34) E’ noto (!) che \ln (1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} - \dots (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+ \dots perché?

  5. bobcarr ha detto:

    Come promesso, ecco le domandine (altre a seguire):

    Integrali

    9) E’ vero che ogni funzione ammette una primitiva?
    10) E’ vero che ogni funzione ammette un integrale indefinito?
    11) Elencare tutti i metodi d’integrazione indefinita
    12) Se di due funzioni non conosco l’integrale indefinto posso comunque applicare il metodo d’integrazione per parti al loro prodotto?
    13) Calcolare l’integrale \int x \arctan x dx
    14) Nel metodo si sostituzione posso sostituire una parte qualsiasi della funzione integranda?
    15) Calcolare l’integrale \int \sqrt{e^x-1}dx
    16) Enunciare il t. di Torricelli
    17) Cosa ce ne facciamo del t. di Torricelli?
    18) La vita dell’integratore di funzioni o del calcolatore di aree (magari un geometra) sarebbe più difficile senza il t. di Torricelli?
    19) Illustrare un caso concreto in cui senza il t. di Torricelli non si va da nessuna parte.
    20) Lo sapevate che qualcuno chiama il t. di Torricelli “il teorema fondamentale del calcolo integrale”? che fantasia!
    21) E’ noto che l’integrale definito di una funzione positiva in un certo intervallo corrisponde all’area compresa fra la curva e l’asse x. Ma l’area compresa fra due curve come si calcola?
    22) Non mi ricordo la formula per il calcolo dell’area del cerchio; come posso applicare il calcolo integrale per risolvere il problema?

  6. Brugni ha detto:

    Ma tanto coraggio…

  7. bobcarr ha detto:

    Attenzione, aggiunto altre domandine. Coraggio.

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