Non è logico (1)

Gironzolando sul web (non ricordo più come) trovo questo sito (rif. completo: Stephen Downes. Stephen’s Guide to the Logical Fallacies. Brandon, Manitoba, Canada, 1995-2001. http://www.datanation.com/fallacies, successivamente trovo quest’altro sito in italiano ) e subito mi rendo conto della sua importanza, perlomeno per noi cultori del ben ragionare. Poco importa che il sito sia vecchio e che alcuni link siano interrotti.

Dalla introduzione si legge: “Il punto centrale di una argomentazione è fornire ragioni valide per una certa conclusione” (scusate la tremolante traduzione). Il punto è che, spesso, le argomentazioni sono sbagliate, fallaci.

Il sito si propone di elencare le più importanti fallacie (De Mauro: fallacia = 1. l’essere sbagliato, ingannevole 2. filos., argomentazione talora apparentemente esatta, ma sostanzialmente errata, perché fondata su presupposti falsi, sofisma; vizio di ragionamento) logiche note. Vediamo di che si tratta su un esempio.

Argomentazione per ignoranza (argumentum ad ignorantiam): se qualcosa non è stato dimostrato vero allora è falso e viceversa, se qualcosa non è stato dimostrato falso allora è vero. Questo argomento si basa sul principio che tutte le proposizioni sono o vere o false e  che una proposizione è vera o falsa finchè non si dimostra il contrario. Fondamentalmente si sostiene la veridicità di una affermazione basandosi sull’inesistenza (ignoranza) di argomentazioni contrarie; da cui il nome.

Esempi:

  • L’inesistenza dei fantasmi non è stata provata, quindi esistono (di S. Downes)
  • Siccome non puoi provare che gli elefanti verdi non esistono allora esistono (da wikipedia)
  • Nessuno può dimostrare che Dio esiste: allora non esiste.
  • Nessuno può dimostrare che Dio non esiste: allora esiste.

Sono molte le considerazioni che possiamo fare  (p.e. discutere su sottili differenze che si presentano negli esempi esposti) ma quello che mi interessa è provare l’argomentazione in ambito matematico.

In un precedente post (Storie di … numeri primi) abbiamo avuto occasione di parlare di una proposizione (enunciato) matematica di cui non è stata ancora dimostrata la verità (e neanche la falsità, ovviamente) nonostante gli sforzi intensi dei matematici. In matematica, un enunciato di cui non si conosca la verità o falsità, si chiama congettura; la nostra si chiama congettura dei primi gemelli ed è il tema che fa da sfondo al romanzo di cui si parla nel post:

due numeri primi (divisibili solo per 1 e per sé stessi) si dicono gemelli se la loro differenza è 2 (il maggiore meno il minore); per esempio 5,3, oppure 7,5 o 13,11 o 19,17 e così via.

Sembra che che ne possano esistere infinite coppie: questa è la congettura dei primi gemelli.

I tentativi di dimostrare la congettura sono innumerevoli e si continua tutt’ora a provarci senza sosta. Applicando la nostra argomentazione per ignoranza si dovrebbe concludere che la congettura è falsa e cioè che i numeri primi gemelli sono un numero finito di coppie. Mi pare che nessuno accetterebbe un simile ragionamento: per prima cosa può darsi che domani stesso qualcuno dimostri la congettura e quindi avremmo tratto una conclusione errata; inoltre si potrebbe anche ragionare che nessuno ha dimostrato la falsità della proposizione che quindi è vera e via discorrendo.

Possiamo osservare che, in matematica, questa particolare fallacia non può avere futuro proprio perché le proposizioni matematiche hanno la peculiarità di essere non-ambigue, di non essere soggette ad interpretazione che può variare da soggetto a soggetto, di essere inesorabilmente vere o false.

Le cose non sono così semplici, non lo sono mai.

Senza togliere nulla a quanto detto, bisogna considerare un teorema (sì, può sembrare strano ma di teorema si tratta) dimostrato da Kurt Gödel nel 1931 che va sotto il nome di Primo Teorema di incompletezza. Il teorema stabilisce che se abbiamo una certa teoria matematica che supponiamo coerente nella quale sia possibile (esistano cioè assiomi sufficienti per) sviluppare l’aritmetica – insomma una teoria nella quale si possano fare i conti con i numeri interi – allora in questa teoria esiste un enunciato che non si può dimostrare e neanche la sua negazione si può dimostrare; possiamo perciò dire che l’enunciato non è vero (non si dimostra) e non è falso (la sua negazione non si dimostra): è indecidibile.

Naturalmente l’indecidibilità di una affermazione riguarda il contesto, cioè la teoria, in cui è formulata; per esempio, se sapessimo che la congettura dei primi gemelli è indecidibile potremmo aggiungere il suo enunciato alla teoria come se fosse un assioma ottenendo così una nuova teoria in cui la congettura è vera (non serve nemmeno dimostrarla, è vera per principio); però potremmo aggiungere la negazione della congettura (non entrambe per carità) e ottenere un’altra teoria in cui la congettura è falsa: otterremmo due nuove teorie.

La situazione sembra perlomeno paradossale ma non è così; questo fenomeno si è già verificato molte volte in matematica e il caso più famoso riguarda la cosiddetta Ipotesi del Continuo , congettura espressa da Georg Cantor, dimostrata poi indecidibile dallo stesso Kurt Gödel e da P.J. Cohen nel 1964.

Ma questa è un’altra storia.

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7 risposte a Non è logico (1)

  1. Pingback: Non è logico (2) « In teoria

  2. bobcarr ha detto:

    @igor la cosa è complicata: si deve far vedere che se assumiamo l’enunciato come vero allora si ottiene una teoria coerente (in qualche modo).

    se la cosa ti interessa possiamo vedere di studiarla più a fondo e magari farci un qualche post…
    magari dovresti diventare co-autore di questo blog… mmm

  3. Igor R. ha detto:

    mmm….però è strano ,come faccio a dimostrare che non potrò mai dimostrare….è un concetto che non mi entra in testa…in ogni caso magari dò un occhiata

  4. bobcarr ha detto:

    @igor non di una “teoria matematica” ma di un singolo enunciato.

    L’esempio classico è il quinto postulato di Euclide: per un punto esterno ad una retta passa una sola parallela alla retta data.

    Per secoli si pensava fosse un teorema e poi invece si scopre (dimostra) che effettivamente non lo è; cioè non si può dimostrare che sia vero (usando i precedenti assiomi). La cosa sconvolgente è che si dimostra anche che la sua negazione non si può dimostrare. Conclusione: l’enunciato non dipende dagli assiomi precedenti: è indipendente.
    Come si arriva dimostrare questi teoremi è molto complicato: rif. Bolyai e Lobachevsky.
    Tutto questo dovrebbe infondere nello studente curioso una inestirpabile voglia di vedere queste dimostrazioni: fosse l’ultima cosa da fare.

  5. Igor R. ha detto:

    beh sinceramente non per contraddire nessuno ma io ho trovato il tutto estremamente logico…la teoria di dio e anche il fatto che una cosa può essere impossibile da dimostrare se falsa o vera….però non riesco a capire come si possa fare a dimostrare che non esisterà mai nemmeno in un futuro lontanissimo una dimostrazione di una certa teoria matematica…boh O_o

  6. bobcarr ha detto:

    @pierisgrò … 🙂

  7. pieraisgro ha detto:

    Problema: Il nostro bobcarr diventerà un genio?
    Tesi: Si
    Argomentazione:nessuno può dimostrare che non è possibile, allora è possibile! I tentativi di dimostrare la congettura sono innumerevoli.
    Antitesi:Il nostro bobcarr non diventerà un genio, perchè è un genio!
    Conclusione…questo fenomeno( cioè bobcarr) si è manifestato molte volte in matematica.
    Ciao

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