M3.0809 Insiemi numerabili (contabili)

Come promesso, ecco il post ove inserire le vostre elucubrazioni su come elencare tutti i numeri razionali.

Colgo l’occasione per ricordare alcuni degli esempi di elencazioni di insiemi infiniti fatte in classe:

  • naturali: \{ 0,1,2, \cdots , n, \cdots \}
  • interi: \{0,1,-1,2,-2, \cdots , n,-n, \cdots \}
  • naturali pari: \{ 2,4,6, \cdots , 2n, \cdots \}
  • naturali dispari: \{1,3,5, \cdots , 2n+1, \cdots \}
  • un insieme di frazioni: \{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \frac{1}{n}, \cdots \}

bene, ora tocca a voi.

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7 risposte a M3.0809 Insiemi numerabili (contabili)

  1. bobcarr ha detto:

    @cavaliere eh ci mancherebbe altro che tu l’avessi copiata. Complimenti Cavaliere Cantor Samuele.
    Adesso però, dovresti postare l’elenco in latex, cioè

    \{ \frac{1}{1},  \frac{1}{2},  \frac{2}{1}, \dots \} ecc.

  2. cavaliere samuele ha detto:

    Sono sempre cavaliere.. Ho anche appena scoperto su WIKIPEDIA che la stessa identica dimostrazione l’ha fatta GEORG CANTOR.. io l’ho trovata per conto mio. che non mi si venga a dire che l’ho copiata!!!

  3. cavaliere samuele ha detto:

    forse ho trovato il modo..
    noi abbiamo l’inizio del quadrato dell’insieme a destra e in alto ci mettiamo la frazione 1/1, poi scendiamo verso il basso e mettiamo la frazione 2/1, poi salendo in diagonale e tornando sula riga iniziale scriviamo la frazione 1/2, scriviamo la frazione seguente a fianco 1/3 e tornando giu in diagonale andiamo a riempire le caselle vuote fino ad arrivare alla “parete” dell’insieme, una volta arrivati lì si va di una frazione verso il basso (in questo caso diventerebbe 3/1) e si ritorna su in diagonale e si procedo per tempo infinito e così si possono contare i numeri razionali, nonchè le frazioni. Nel contare i numeri ci imbatteremo spesso nel ritrovare più volte il suo numero naturale, ma non c’è problema su questo poichè i numeri naturali hanno un’infinità di rappresentazioni. E per contare numeri razionali negativi basta spostare la “parete” di destra e così vengono contati anch’essi.

    Sono o no un genio della matematica???????

  4. bobcarr ha detto:

    Per elencare tutte le frazioni potrei iniziare con:

    frazioni con numeratore 1:

    \frac{1}{1}, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \cdots , \frac{1}{n} , \cdots

    frazioni con numeratore 2:

    \frac{2}{1}, \frac{2}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4}, \cdots , \frac{2}{n} , \cdots

    frazioni con numeratore 3:

    \frac{3}{1}, \frac{3}{2},\frac{3}{3},\frac{3}{4}, \cdots , \frac{3}{n} , \cdots

    e cosi via; ci sono alcuni problemi:

    1) alcune frazioni compaiono più volte; poco male, anche se contiamo più volte lo stesso numero quello che importa è averli contati tutti.

    2) non compaiono i numeri negativi; possiamo pensare di duplicare le righe e metterne una tutta positiva e una negativa e così di seguito.

    3) il problema più grosso: ciascuna riga è infinita e quindi prima di passare alla seconda dovrei finire la prima e ci metto infinito tempo.
    Come fare? qualche idea?

  5. bobcarr ha detto:

    @vigani apprezzo lo sforzo ma bisogna fare di meglio. Si parte così:

    supponiamo per assurdo che i primi siano finiti: \{2,3,5,7\}
    consideriamo il seguente numero: r=2*3*5*7 + 1
    dimostriamo che r deve necessariamente essere primo anche lui e quindi troviamo un assurdo perché r> di ciascun numero primo disponibile.

    Questa è la base: adesso continua tu.

  6. Vigani Andrea ha detto:

    ho guardato in internet e ho provato a capire un pò come funziona…
    Allora,la dimostrazione viene fatta per assurdo…
    Praticamente per assurdo supponiamo che i numeri primi non sono infiniti,cioè 1,2,3,4 ecc …poi diciamo che r è il prodotto di 2 numeri primi, e consideriamo r + 1. Questo numero non non può essere diviso per 2, perché è r e quindi ha resto 1. Non si può dividere neanche per 3, per lo stesso motivo. In generale, detto pi l’i-esimo numero primo, la divisione (r + 1)/pi ha sempre resto 1.
    Adesso per il teorema fondamentale dell’aritmetica ci sono 2 strade diverse:
    1- o r + 1 è primo, e ovviamente essendo maggiore di pn quest’ultimo non è il più grande dei numeri primi;
    2- oppure, se non è primo, è il prodotto di 2 numeri primi che non possono esserco tra gli n ipotizzati e devono essere maggiori di pn….anche in questo caso quest’ultimo non è il più grande dei numeri primi.
    In tutti e 2 i casi viene fuori che non può non esistere un numero primo più grande di pn e dunque i numeri primi sono infiniti.
    In realtà, solo pochi dei numeri r + 1 così trovati sono primi, perché il divario tra pn e r cresce circa come il fattoriale, e quindi c’è sempre più possibilità che r + 1 abbia un divisore tra pn e \sqrt{r+1} .
    Da questa dimostrazione viene fuori questa disuguaglianza:
    p_{n+1} < p_1 p_2 ... p_n \ ,

    …..non ci ho capito molto però più o meno dovrebbe essere così….

  7. bobcarr ha detto:

    Dimenticavo: resta aperto anche il problema di dimostrare il:

    Teorema (Euclide): i numeri primi sono infiniti.

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