M5.0809 Esercizi per le vacanze

Come promesso, ecco alcuni integrali per farvi dimagrire, dopo le scorpacciate festive (anche prima):

Integrali indefiniti:

  1. \displaystyle \int \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx
  2. \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx
  3. \displaystyle \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} dx
  4. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}} dx
  5. \displaystyle \int \frac{1-\sqrt[3]{1+x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1+x}} dx
  6. \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx    (porre x=\sin^2 t)
  7. \displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx
  8. \displaystyle \int \frac{7x+1}{6x^2+x+1} dx
  9. \displaystyle \int \frac{x^3-1}{4x^3-x} dx
  10. \displaystyle \int \frac{x}{x^3-1} dx
  11. \displaystyle \int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx
  12. \displaystyle \int x \arctan \sqrt{x^2-1} dx

e poi roba più dura (?!)

  1. \displaystyle \int \sin \ln x dx
  2. \displaystyle \int x^2 e^x \sin x dx
  3. \displaystyle \int e^x \sin x dx
  4. \displaystyle \int \sin \sqrt[3] x dx
  5. \displaystyle \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} dx

e ora tocca agli integrali definiti, ma sono stanchino, quindi state in ascolto, li metterò in un prossimo commento.

Buon lavoro ma, principalmente, buone feste.

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Questa voce è stata pubblicata in Integrali, M5.0809, Matematica. Contrassegna il permalink.

38 risposte a M5.0809 Esercizi per le vacanze

  1. bobcarr ha detto:

    @*Vale* il 10. risulta \displaystyle \frac{\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} \log {(x-1)} - \frac{1}{6} \log {(x^2+x+1)}

    il 9. di sicuro è sbagliato perchè non hai neanche ottenuto il risultato parziale che ti avevo suggerito. Riprova.

    il 1. risulta \displaystyle \frac{x}{2} (\sin \ln x - \cos \ln x) + c, quindi hai sbagliato qualcosa.

    il 2. devi integrare per parti con x^2 da derivare e il resto, che deduci dall’es. 3, da integrare. Coraggio

  2. *Vale* ha detto:

    Rieccomi!
    Allora, l’es 10 mi risulta: 2/√3 arctg((2x+1)/√3)
    Poi, al 9 mi sono fermata a questo punto.. devo avere sbagliato qualcosa: \displaystyle \frac{1x}{8} + \displaystyle \frac{-7}{8} \int \frac{1}{2 x^2+x} dx
    L’es 12 l’ho eseguito secondo le sue indicazioni ma la seconda parte del risultato è sbagliata. Potrei farglielo vedere in classe…

    La risoluzione dell’es 3 l’ho capita ed in base a quella ho fatto l’1 con risultato: (senx (1/x) + lnx cosx)/2
    Il 2 invece avendo tre termini mi manda in paranoia…dovrei forse usare questo stesso metodo?
    Grazie di tutto. Buona domenica.

  3. *Vale* ha detto:

    Buonasera…Scusi se oggi non le ho scritto ma sono stata impegnata.. Domani le invio i risultati..
    Grazie

  4. *Vale* ha detto:

    Caspita!!!! No No per ora non ho altre domande, ora devo andare, faccio questi esercizi di matematica e poi non torno in linea perché devo studiare.. Comunque domani pomeriggio avrò sicuramente qualcosa da chiederle..:)
    Grazie di tutto.

  5. bobcarr ha detto:

    @*Vale* devi ricordarti che tutte le formule vanno comprese fra “$latex” e “$”, inoltre le frazioni, tipo 1/4, si scrivono \frac{1}{4};

    9. tu dici: \displaystyle \frac{1}{4} \int \frac{4 x^3 -4 +x-x}{4 x^3-x} dx e poi
    \displaystyle \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \int \frac{x-4}{x(4 x^2-1)} dx
    e quindi
    \displaystyle \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \int \frac{x-4}{x(2 x-1)(2x+1)} dx
    adesso l’integrale rimasto devi scomplorlo in frazioni semplici. (Lagrange, ricordi?)

    10. devi scomporre il denominatore come differenza di cubi e poi scomporre in frazioni semplici come l’es. precedente.

    12. prendi x come parte differenziale (integrare) e il resto come parte finita (derivare) e applica il metodo per parti. Dovrebbe risultare :

    \displaystyle \frac{x^2}{2} \arctan \sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2}  \sqrt{x^2-1} +c

    Per i più duri invece diciamo che i primi 3 si risolvono per parti con un trucco che vi indico di seguito sull’esercizio 3.

    3. \displaystyle \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x dx)

    e quindi

    \displaystyle \int e^x \sin x dx =  e^x \sin x -  e^x \cos x - \int e^x \sin x dx

    porto al primo membro l’ultimo termine

    \displaystyle 2 \int e^x \sin x dx =  e^x \sin x -  e^x \cos x

    divido per 2

    \displaystyle \int e^x \sin x dx = \frac{ e^x \sin x -  e^x \cos x}{2} +c

    e voilà.

    Altre domande?

  6. *Vale* ha detto:

    Scusi pensavo che venisse scritto giusto l’integrale..se non capisce mi dica pure..

  7. *Vale* ha detto:

    Buongiorno 🙂
    Nell’esercizio 9,\displaystyle \int \frac{x^3-1}{4x^3-x} dx ho sommato e sottratto al numeratore x, ho fatto le relative semplificazioni però sono arrivata a un punto dove mi sono bloccata:\frac{1}{4} x  + \frac{1}{4} \displaystyle \int \frac {1}{x(1+x)}dx  spero di aver scritto giusto..E’ sbagliato?

    Poi il dieci non so come iniziare, il 12 dovrebbe dare 2-2log x spero…
    L’1 e il 2 più duri invece, non sono sicura, può aiutarmi?
    Grazie

  8. bobcarr ha detto:

    Sto aspettando le richieste promesse in classe.

  9. bobcarr ha detto:

    Il problema non è il risultato, che si può trovare da wolfram o maxima o altri, il problema è COME; da cui l’inutilità sostanziale di questi programmi di matematica, almeno per quanto riguarda la ricerca di integrali.
    Voi direte: ma se mi da il risultato, cosa mi interessa il procedimento; in fondo ci sarà sempre un computer da qualche parte quando mi serve.

    Mi ricordo un vecchio romanzo di fantascienza in cui gli uomini avevano dimenticato tutte le conoscenze e si affidavano totalmente alle macchine, fino a diventarne schiavi.
    Cavolo, gran brutta prospettiva; è meglio correre a risolvere subito un integrale.

    Ecco, perciò, il n.6.

    Il suggerimento era la sostituzione x = \sin^2 t quindi 1-x =1- \sin^2 t e dx= 2 \sin t \cos t dt
    inoltre t=\arcsin \sqrt {x} e \sqrt x = \sin t

    sostituendo abbiamo

    \displaystyle \int  \frac{\sin t}{\sqrt{1- \sin^2 t}} 2 \sin t \cos t dt

    \displaystyle \int  \frac{\sin t}{\cos t} 2 \sin t \cos t dt

    \displaystyle 2 \int \sin^2 t dt

    che, per un integrale già noto, produce:

    \displaystyle t - \sin t \cos t

    considerando che \cos t = \sqrt {1- \sin^2 t} = \sqrt{1-x}

    si ha

    \displaystyle \arcsin x - \sqrt{x} \sqrt{1-x}

    e voilà.

  10. TheWorm ha detto:

    @bobcar

    Per la formula di partenza va beh, me la cercherò.
    per gli esercizi maxima restituisce apparentemente sempre risultati diversi perchè al posto di risolvere gli integrali per sostituzione li risolve per parti.. Utile sarebbe sapere perchè sceglie questo metodo invece dell’altro (anche se credo che si possa imporgli di risolverli per sostituzione perchè nella guida qualcosa del genere l’ho trovata anche se non riesco a farla funzionare :-()
    Wolfram invece conferma il suo risultato!

  11. bobcarr ha detto:

    @ThewWorm

    la formuletta dovresti saperla perchè è una delle prime che si imparano in 3a; certo, non posso mica dimostrare tutte le formule: allora dovrei partire dal concetto di insieme e sai quanto tempo…

    6. \arcsin \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{1-x} + c
    maxima cosa dice?

  12. TheWorm ha detto:

    Soluzione del 6?

  13. TheWorm ha detto:

    @bobcar
    Salve! Alla dimostrazione a mio parere manca una cosetta. La formula iniziale, quella che esprime il seno in funzione della tangente, come si ricava? E’ una cosa disumana arrivarci (non credo) o è una cosa fattibilmente spiegabile e riproducibile? Grazie..

  14. bobcarr ha detto:

    Guardando gli esercizi di Vianello, mi sono accorto che il n. 1 dei definiti ha il testo sbagliato (risulta così molto pù difficile di quanto si voleva). Il testo corretto deve intendersi:

    \displaystyle \int^{9}_{0} \frac{\sqrt x}{\sqrt x -1} dx

  15. bobcarr ha detto:

    Un esempio dettagliato:

    Consideriamo l’integrale \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx

    notiamo che x dx potrebbe essere il differenziale dx^2, manca solo un 2; inoltre la radice è funzione di x^2, quindi:

    \displaystyle  2 x dx = dx^2 e quindi

    \displaystyle   \frac{1}{2} \int \frac{2x}{\sqrt{1-{x^2}^2}} dx

    \displaystyle   \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-{x^2}^2}} dx^2

    \displaystyle   \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-{t}^2}} dt eccetera.

    Consideriamo invece il caso: \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx

    non abbiamo la forma f’dx, quindi niente sostituzione di differenziale. La versione TheWorm sarebbe:

    x^2 = t e quindi 2x dx = dt e perciò dx = \frac{dt}{2x}

    e sostituendo

    \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \frac{dt}{2x} ottenendo un meraviglioso integrale in 2 variabili!?

    la sostituzione generale è sempre possibile:

    x^2 = t e quindi x = \sqrt t e perciò dx = \frac{dt}{2\sqrt t}

    da cui

    \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \frac{dt}{2\sqrt t}

    perfettamente ragionevole (anche se duro procedere)

    Insomma, potrete notare che è sempre necessario sostituire la x con una opportuna funzione di t, quindi tanto vale farlo all’inizio. Giusto ?

  16. bobcarr ha detto:

    @TheWorm ottimo direi, sottoscrivo tutto quello che dici.

    Faccio le seguenti osservazioni:

    1) dici: “Da come l’ho interpretata io sembrava che la cosa fosse sbagliata (perchè considerarla errore nel compito altrimenti)”
    errore perchè non hai applicato il metodo generale che io avevo spiegato (dimostrando che non mi ascolti) e perchè non avevi consapevolezza dei casi in cui si può applicare. Magari ora ne sei consapevole, cioè sai quando il metodo si può applicare e quando no: verificheremo presto.

    2) “Ora però lei dice “è un caso particolare della sostituzione generale che facciamo di solito” “.
    Effettivamente dire che è un caso particolare va dimostrato, non è propriamente così.
    La cosa funziona in questo modo:

    se ho un integrale del tipo \displaystyle \int g(f(x))f'(x) dx allora posso sostituire il differenziale dx con il differenziale f'(x)dx = df e l’integrale diventa \displaystyle \int g(f) df

    questo è il metodo sostituzione di differenziale; come vedi, non si applica sempre (bisogna che ci sia g(f)f'(x)dx) e non è propriamente identico al metodo che tu hai usato.
    Possiamo considerare quel metodo sbagliato? la questione è discutibile; io non lo userei in quel modo, però se uno ha la consapevolezza di quell che fa, può anche andare.

    3) “Se fossi stato il classico studente che pensa “CIO’ CHE DICE ROBERTO CARER E’ LEGGE E QUINDI SE LUI DICE CHE HO SBAGLIATO, HO SBAGLIATO””
    Per questo ti invito a leggere il questo post che non è sospetto essendo stato scritto prima che la discussione si infiammasse.

    4) Ultima osservazione: è triste che io mi sia lasciato trascinare in un giudizio affrettato – poi fortunatamente corretto da maxima -, forse dipende dalla vecchiaia o dall’abitudine ad avere studenti sempre meno esigenti; in ogni caso quello è un problema mio. Il tuo, invece è quello di aver guadagnato un credito che dovrai però mantenere. Sarebbe disdicevole che tu mi avessi risvegliato da un certo torpore per poi trascurare le belle conseguenze del risveglio. Volgio dire (per esempio): la dimostrazione dell’equivalenza di arctan e arcsen devi saperla riprodurre, magari per i tuoi compagni, in classe, uno di questi giorni.

  17. TheWorm ha detto:

    @bobcar
    Da come l’ho interpretata io sembrava che la cosa fosse sbagliata (perchè considerarla errore nel compito altrimenti) e altamente rischiosa–>”non conviene operare in quel modo perchè un errore è facile da commettere”.
    Ora però lei dice “è un caso particolare della sostituzione generale che facciamo di solito” quindi, essendo un caso particolare, cioè un caso sottoinsieme di quello principale, vuol dire che presenta le caratteristiche di appartenenza del caso generale, cioè le nozioni applicate in questo caso, sono le stesse che si devono conoscere se si applica la sostituzione generale.
    Ora lo so che posso sembrare cocciuto,asino e insistente, anzi, sicuramente sono cocciuto,asino e insistente , ma il modo di fare,dire e agire di un professore spesso vengono mal interpretati dallo studente che o sta zitto (facendo si bella figura ma tenendosi anche un grosso dubbio interiormente) o cerca (mostrando anche la sua ignoranza) di arrivare al nocciolo della questione dialogando e cercando confronti con pareri altrui.
    Esempio lampante di tutto ciò è la soluzione dell’es4.. Le ho chiesto appositamente se il mio risultato era sbagliato prima di dirle che avevo effettuato la prova con maxima proprio per vedere la usa reazione. Se fossi stato il classico studente che pensa “CIO’ CHE DICE ROBERTO CARER E’ LEGGE E QUINDI SE LUI DICE CHE HO SBAGLIATO, HO SBAGLIATO” avrei continuato ore e ore a cercare un errore inestente arrivando poi magari (tramite pareri altrui) alla conclusione che anche il mio risultato era giusto.

    “Non mi scoraggio perché ogni tentativo sbagliato scartato è un altro passo avanti” Edison

  18. bobcarr ha detto:

    @TheWorm non avevi ancora visto la conclusione perchè avevo interrotto per la cena; adesso è completa.

    Per l’altra questione, forse non hai capito bene la situazione e andrà a finire che ci farai brutta figura, oltre che a procurare fastidi a te e ai tuoi compagni di classe.
    La questione è questa: il metodo che tu hai appreso dal quel famoso sito si può chiamare sostituzione di differenziale e funziona appunto quando nella funzione integranda è presente un differenziale (una derivata per dx), ed è un caso particolare della sostituzione generale che facciamo di solito. Io volevo risparmiarvi anche questa ulteriore fatica, visto che comunque è già contenuta nel metodo più generale; inoltre preferisco risolvere quei casi usando le formule generalizzate.
    Però, nel caso dovessi intrattenere piacevole corrispondenza con questo collega cui tu ti riferisci, allora non mancherò di aggiungere ai metodi d’integrazione anche la sostituzione di differenziale (con grande piacere di tutti quanti).
    Buonanotte

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