The [e] Identity

Ovvero: la misteriosa storia della base più famosa.

La base più famosa (e strana) delle funzioni esponenziali e delle corrispondenti funzioni inverse, cioè i logaritmi, è senza dubbio e.

Già dal terzo anno gli studenti ne sono consapevoli perchè i prof non smettono di insistere con la solfa dei logaritmi naturali; fanno osservare che le calcolatrici hanno due sole basi degli esponenziali e dei logaritmi, una delle quali è proprio e; poi in quarta, appena apprese alcune nozioni di calcolo differenziale (limiti e derivate), ovunque appaiono formule con questo e; e in quinta, dopo estenuanti lezioni su integrali, serie e altra roba pesante, finalmente compare la famigerata formula, vanto di ogni professore di matematica, orgoglio di generazioni di analisti (nel senso dell’analisi matematica): la formula di Eulero

\displaystyle e^{i \pi} + 1= 0

nella quale, oltre a e, compaiono gli altri numeri più famosi e usati in matematica: i – unità immaginaria dei numeri complessi; \pi – il famigerato pi greco, ossessione di intere generazioni ; 1 e 0 – i due numeri più innocenti, a prima vista, che si possano immaginare, basta che non siano dentro un calcolatore.

Già da tempi antichi si erano calcolate tabelle di logaritmi ma senza alcuna consapevolezza del vero valore della base; bisogna aspettare Huygens, nel 1661, per avere almeno la consapevolezza che esiste una relazione importante fra il logaritmo e l’iperbole equilatera.

Iperbole equilatera?

Sì, iperbole equilatera, e la relazione è evidente nel grafico quì sotto:

e

e

L’iperbole equilatera è la curva di equazione \displaystyle y = \frac{1}{x}, e se ci proponessimo di calcolare  l’ascissa tale che l’area del quadrilatero mistilineo ABDC abbia valore 1, troveremmo proprio e.

Questo è quanto osservava Huygens e questa è la proprietà che detemina la base dei logaritmi naturali. Huygens studiò anche le funzioni del tipo \displaystyle y = k a^x, cioè le nostre esponenziali, e questo lo condusse a calcolare il logaritmo in base 10 di e, senza ancora sapere cos’era sto e.

Ma allora, chi è stato a dare vita definitiva al famigerato numero?

Come spesso accade, studiando cose del tutto diverse – nella fattispecie J. Bernoulli, studiando i problemi di interesse composto, roba di economia quindi – emerse finalmente l’idea che doveva esiste un numero limite della successione \displaystyle (1+ \frac{1}{n}) ^ n al tendere di n all’infinito. E questo per la definizione del numero e, ma per capire che era lo stesso numero, base dei logaritmi naturali, la strada è ancora lunga.

Ispirato da Mactutor.

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