Come cresce? [2]

Abbiamo cercato di  trovare una funzione esponenziale che “assomigliasse” alla successione di Fibonacci, sperando di trovare una base.

Questa ipotetica base  sarebbe contenuta fra 1 e 2 perchè   1^n\leq F(n)\leq2^n

La prima è ovvia perchè  1^n = 1.

Minore di 2^n perchè, mentro l’elemento ennesimo della successione di Fibonacci è dato solo dalla somma due elementi precedenti, 2^n è somma di tutti gli elementi precedenti + 1.

Successione di Fibonacci : 1,1,2 ,3,5 ,8

Potenze in base 2 : 1,1,2 ,4 ,8 ,16

Successione di Fibonacci : 1,1,2 (1+1),3 (1+2),5 (2+3),8 (3+5)

Potenze in base 2 : 1,1,2 (1+1),4 (1+2+1),8 (1+2+4+1),16 (1+2+4+8+1)

Va dimostrato però che l’elemento ennesimo delle potenze di 2 è dato dalla somma di tutte le potenze precedenti + 1, che in formula matematica risulterebbe :

2^n=2^{n-1}+2^{n-2}(n-2)+2^{n-3}+...+2+1+1

DIMOSTRAZIONE

Lemma :

2^{n+1}=2^n+2^n

2*2^n=2^n(1+1)

2*2^n=2*2^n vera

Quindi :

2^n=2^{n-1}+2^{n-2}(n-2)+2^{n-3}+...+2^2+2^1+1+1

2^n=2^{n-1}+2^{n-2}(n-2)+2^{n-3}+...+2^2+2^1+2^1 per la dimostrazione precedente  2^1+2^1=2^2 quindi

2^n=2^{n-1}+2^{n-2}(n-2)+2^{n-3}+...+2^2+2^2 ma sempre per prima 2^2+2^2=2^3 quindi

2^n=2^{n-1}+2^{n-2}(n-2)+2^{n-3}+...+2^3

Si può procedere sempre con lo stesso meccanismo finché non raggiungiamo :

2^n=2^{n-1}+2^{n-1} quindi 2^n=2^n

Ma “procedere con la ripetizione del meccanismo” può lasciare dubbi quindi conviene usare il principio di INDUZIONE.

Il principio di Induzione offre un importante strumento per le dimostrazioni, si basa su due punti :

1- Si dimostra la veridicità del teorema per un primo valore, (base dell’induzione)

2- Si dimostra che se un teorema è vero per un valore lo è anche per quello successivo.  (passo dell’induzione)

Base dell’induzione : n=0  -> 2^0 = 2^0  casualmente subito vera

Passo dell’induzione : n=k

2^k=2^{k-1}+2^k{k-2}+..+2^0+2^0

per il valore successivo, cioè k+1

2*2^k=2*(2^{k-1}+2^{k-2}+..+2^0+2^0)

2^{k+1}=2^k+2^{k-1}+..+2^1+2^1+2^0+2^0

Che è quindi uguale  alla espressione scritta sopra, quindi vera.

Advertisements
Questa voce è stata pubblicata in Algoritmi, Aritmetica, Induzione, M3, M3.1011, Matematica, Successioni e contrassegnata con , , , . Contrassegna il permalink.

6 risposte a Come cresce? [2]

  1. bobcarr ha detto:

    non sento il fervore dell’attività attorno a questo problema; tutti impegnati in altre faccende?

  2. bobcarr ha detto:

    bene, adesso che Bastianetto si è guadagnato un k-credito, passiamo alla fase 2: vedere se la successione si “avvicina” a qualche esponenziale e determinarne l’eventuale base. Idee?

  3. ahmed kouza ha detto:

    scusate ho sbagliato post

  4. ahmed kouza ha detto:

    ma prof la formula per n+1 è questa?
    ($)latex \displaystyle 2^(n+1) $ > ($)latex \displaystyle 2*n $

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...