M3.1011 Induzione[2]

Seconda ondata.

Ricchi premi e cotillon ( piccolo regalo distribuito a chi partecipa a una festa [wiki], e sarà una festa per voi).

  1. 1^2-2^2+3^2-4^2+ \cdots + (-1)^{n-1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \quad n>0
  2. 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots n \cdot n! = (n+1)!-1 \quad n>0
  3. (2n)! < 2^{2n} (n!)^2 \quad n>0
  4. x-y è un fattore di x^n-y^n \quad n>0
  5. n^2<n! \quad n \geq 4
  6. \text{se } x \geq -1 \text{ allora } 1+nx \leq (1+x)^n \quad n \geq 0 *
  7. Se f_k è il k-esimo numero di Fibonacci, trovare il valore di \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k usando il fatto che f_k=f_{k+2}-f_{k+1} *
  8. \displaystyle \sum_{j=1}^{n} f_j^2 = f_1^2+f_2^2+ \cdots + f_n^2 = f_n \cdot f_{n-1} \quad n>0
  9. Teorema: tutte le palle hanno lo stesso colore. Dimostrazione per induzione. 1 palla ha un unico colore. Consideriamo n+1 palle. Le prime n hanno colore – diciamo – giallo; le ultime n (compresa la n+1 -esima) hanno lo stesso colore – giallo – per ipotesi induttiva; allora tutte sono gialle. La dimostrazione è corretta?

p.s.

gli esercizi contrassegnati con * sono da considerarsi più difficili.

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28 risposte a M3.1011 Induzione[2]

  1. bobcarr ha detto:

    Esercizio n. 4)

    caso n=1 è banale

    consideriamo (x^{n}-y^{n})(x+y) che per ip. ind. è divisibile per x-y. Moltiplicando otteniamo = x^{n+1}-y^{n+1} + xy(x^{n-1}- y^{n-1}); concludiamo che, siccome l’ultimo termine è divisibile per x-y lo è anche il primo. Bingo

  2. Davide Mattiuzzo ha detto:

    Penso di aver dimostrato il n°4, però ho una domanda:

    Se dimostro che il torema è valido per n=1 e per n=2 e poi dimostro che

    se è vera per x^n - y^n & è vera anche per latex x^(n+2) – y^(n+2)$

    Il teorema è dimostrato?

  3. ahmedkouza ha detto:

    7) Data la successione di Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13….

    dopo una serie di prove ho notato che :

    \displaystyle f_{1} + f_{2} + f_{3} + \cdots + f_{k-1} + f_{k}= f_{k+2}-1

    Ora provo a dimostrarlo per induzione.

    Base dell’induzione

    k=1

    \displaystyle  0=1-1

    \displaystyle  0=0

    PASSO DELL’INDUZIONE

    \displaystyle  f_{1} + f_{2} + f_{3} + \cdots + f_{k-1} + f_{k} + f_{k+1}= f_{k+2}-1 +f_{k+1}

    Siccome \displaystyle  \quad f_{k+2} + f_{k+1} = f_{k+3} \quad dovrebbe risultare quindi

    \displaystyle  f_{1} + f_{2} + f_{3} + \cdots + f_{k-1} + f_{k} + f_{k+1}= f_{k+3}-1

    Ovvero la formula per il k successivo.

  4. bobcarr ha detto:

    attenzione! ERRORE nel testo esercizio 8.

    La paret destra è f_n \cdot f_{n+1} e non f_n \cdot f_{n-1}

  5. ahmedkouza ha detto:

    ho tentato a fare il 6
    se \quad x \geq -1 \quad allora \quad  1+nx \leq (1+x)^n \quad n \geq0
    n=1
    x=1

    1 + 1! \leq (1+1)^1
    2 \leq 2
    IPOTESI INDUTTIVA
    1+nx \leq (1+x)^n
    Moltiplico entrambi i membri per \quad (1+x)
    Così facendo ottengo la quantità desiderata nella parte destra;
    (1+nx )(1+x)\leq (1+x)^n(1+x)
    (1+nx )(1+x)\leq (1+x)^{n+1}
    Ora devo dimostrare che (1+nx )(1+x) \geq 1+ x(n+1)
    E facendo così dimostro per propietà transitiva che
    1+x(n+1) \leq (1+x)^{n+1}
    quindi
    (1+nx )(1+x) \geq 1+ x(n+1)
    1+nx+x+nx^2 \geq 1+ xn+x
    nx^2 \geq 0
    Essa è valida per n \geq 0 e \forall x
    Inoltre rispetta le condizioni iniziali e quindi è dimostrato
    In teoria è sbagliato, vorrei sapere dove.

  6. ahmedkouza ha detto:

    esercizio 1

    \displaystyle 1^2-2^2 + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2 =(-1)^{n-1} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} \quad n>0
    \displaystyle n=1
    \displaystyle (-1)^{1-1} \cdot 1^2 = (-1)^{1-1} \cdot \frac{1 \cdot (1+1)}{2}
    \displaystyle 1 \cdot 1 = 1 \cdot \frac{2}{2}
    IPOTESI INDUTTIVA
    \displaystyle  + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2 =(-1)^{n-1} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2}
    andiamo a capo dopo l’= altrimenti non si vede
    \displaystyle + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1)^{n-1} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (-1)^n \cdot (n+1)^2

    \displaystyle  + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1)^{-1} \cdot (-1)^n \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (-1)^n \cdot (n+1)^2

    \displaystyle  + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1) \cdot (-1)^n \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (-1)^n \cdot (n+1)^2

    \displaystyle + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1)^n \cdot (n+1) \cdot \left(  \frac{-n}{2} + (n+1) \right)

    \displaystyle + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1)^n \cdot (n+1) \cdot \left(  \frac{n+2}{2} \right)

    \displaystyle  + \cdots +(-1)^{ n-1} \cdot n^2  + (-1)^n \cdot (n+1)^2=
    \displaystyle (-1)^n \cdot \left(  \frac{(n+1) \cdot ( n+2)}{2} \right)

  7. bobcarr ha detto:

    giusto. Una sola osservazione: perchè porti a sx il -1 ?

    Purtroppo il commento è corto, dovresti, la prossima volta, accorciare i n. dei termini.

  8. ahmedkouza ha detto:

    il commento me li taglia!

  9. ahmedkouza ha detto:

    Esercizio 2
    1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! -1 \quad n>0
    n=1
    1 \cdot 1! = (1+1)! -1
    1=1 \quad \sqrt{}
    IPOTESI INDUTTIVA
    1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! -1 \quad n>0
    Si porta nel primo membro il \quad -1 e si somma ad
    entrambi \quad (n+1) \cdot (n+1)!
    1 + 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)! = (n+1)! +(n+1) \cdot (n+1)!

    1 + 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)! =(n+1)! \cdot (n+1+1)
    1 + 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)! =(n+1)! \cdot (n+2)
    1 + 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)! =(n+2)!
    1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)! =(n+2)! - 1

    Spero sia giusto!

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