M3.1011 Induzione[3]

E che sia l’ultima.

  1. 3^{2n}-1 è divisibile per 8  n \geq 0
  2. 2n^3-3n^2+n+31 \geq 0 \quad n \geq -2
  3. 1^4+2^4+ \cdots + n^4= \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}
  4. 1+3+5+ \cdots + (2n-1) = n^2 \quad n \geq 1
  5. 2+4+6+ \cdots + 2n = ?
  6. 1^2+3^2+ \cdots + (2n-1)^2 = \displaystyle \frac{4n^3-n}{3}
  7. 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots (n+1) \cdot 2{n+1} = n 2^{n+2} \quad n >0

e basta.

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18 risposte a M3.1011 Induzione[3]

  1. bobcarr ha detto:

    ATTENZIONE!

    domani sera troverete la correzione completa della verifica nella sezione LEZIONI.

    Buona lettura

  2. andrea ha detto:

    sul sei nel passo base al posto di n che si mette?????

  3. andrea ha detto:

    sul sei nel passo base al posto di n che si mette?

  4. ahmedkouza ha detto:

    6)
    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2= \frac{4n^3-n} {3}

    Base dell’induzione

    \displaystyle  n=1

    \displaystyle  1= \frac{4-1}{3}

    \displaystyle 1=1

    IPOTESI INDUTTIVA
    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2= \frac{4n^3-n} {3}

    Il \displaystyle\quad \frac{4n^3-n} {3} può essere visto così \displaystyle \quad \frac{n(2n-1)(2n+1)} {3}

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2= \frac{n(2n-1)(2n+1)} {3}

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2 + (2n+1)^2= \frac{n(2n-1)(2n+1)} {3}  +(2n+1)^2

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2 + (2n+1)^2= (2n+1) \left (\frac{2n^2-n+6n+3} {3} \right )

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2 + (2n+1)^2= (2n+1) \left (\frac{(2n+3)(n+1)} {3} \right )

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2 + (2n+1)^2= (2n+1) \left (\frac{(2n+3)(n+1)} {3} \right)

    \displaystyle 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^ 2 + (2n+1)^2= \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)} {3}
    Che è la formula per quello successivo

  5. ahmedkouza ha detto:

    7)
    \displaystyle 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1}= n \cdot 2^{n+2}  \quad n > 0
    Base dell’induzione
    \displaystyle  n=1
    \displaystyle  2 \cdot 2^2= 2^{(1+2)}
    \displaystyle 8=8

    IPOTESI INDUTTIVA
    \displaystyle 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1}= n \cdot 2^{n+2}  \quad n\geq 0

    \displaystyle  \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1} + (n+2) \cdot 2^{n+2} = n \cdot 2^{n+2} +2 +(n+2) \cdot 2^{n+2}

    \displaystyle  \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1} + (n+2) \cdot 2^{n+2} = 2^{n+2} \cdot(n+n +2)

    \displaystyle  \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1} + (n+2) \cdot 2^{n+2} = 2 \cdot 2^{n+2} \cdot(n +1)

    \displaystyle  \cdots + (n+1) \cdot 2^{n+1} + (n+2) \cdot 2^{n+2} = 2^{n+3} \cdot(n +1)

  6. edoardobastianetto ha detto:

    4 .

    Prova : (-2) -16-12-2+31\geq 1 => 1 \geq 0

    Ipotesi induttiva : 2n^3-3n^2+n+31 \geq 0

    Dato che 6n^2>0 è sempre vero allora possiamo sommarlo alla parte sinistra della disquazione (A>B e C>D => A+C>B+D)

    E otteniamo :

    2n^3+3n^2+n+31 \geq 0

    ——————–

    2(n+1)^3-3(n+1)^2+n+1+31 =

    2n^3+6n^2+6n+2-3n^2-6n-3+n+1+31 =

    2n^3+3n^2+n+31

    ——————–

    Quindi facendo i passaggi al ritroso otteniamo la soluzione

  7. ahmedkouza ha detto:

    ma prof, ho provato più volte e la base dell’induzione dell’esercizio 7 mi viene sbagliato; non bisognerebbe sommare a destra un +2 (o sottrarre a sinistra 2) ??

  8. bobcarr ha detto:

    la 1) dovrebbe essere 2=1(1+1)

    il resto è ok

  9. edoardobastianetto ha detto:

    Forse la 5

    2+4+6+...+2n = ?
    2+4+6+...+2n = n(n+1)

    Prova:

    (1) 2= 1(1+2) \sqrt{}

    (2) 2+4= 2(2+1) \sqrt{}

    Ipotesi induttiva : 2+4+6+...+2n = n(n+1)

    Passo dell’induzione : 2+4+6+...+2n+2(n+1) = n(n+1)+2(n+1)

    2+4+6+...+2n+2(n+1) = n^2+n+2n+2

    2+4+6+...+2n+2(n+1) = n^2+3n+2

    2+4+6+...+2n+2(n+1) = (n+1)(n+2)

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