M3.1011 The Dal Ferro Tartaglia Cardano Connection [1]

Ovvero:

cubo eguale a cose e numero

Per capire bene il senso del titolo di questo articolo è bene consultare una buona enciclopedia e io consiglierei i seguenti link:

Dal Ferro

Tartaglia

Cardano

Inutile dire che mi fido poco di wikipedia.

Veniamo al dunque.

I tre citati si sono tutti, a vario titolo, occupati della risoluzione dell’equazione di terzo grado:

ax^3+bx^2+cx+d=0

ovviamente non avevano a disposizione l’attuale notazione algebrica che è stata inventata molto più tardi. Per loro l’equazione si esprimeva a parole: “cubo eguale a cose e numero” cioè, in notazione moderna:

x^3=px+q

quindi il “cose” indicava l’incognita. Un’altra versione dell’equazione era:

x^3+px=q

oppure

x^3+px+q=0

tutto questo perchè non sapevano trattare con i numeri negativi.

La prima questione è: perchè si occupavano di queste equazioni ridotte e non dell’equazione completa? Semplice, l’equazione completa può SEMPRE essere ridotta ad una di queste mediante opportune sostituzioni.

Allora: PROBLEMA

Ridurre l’equazione ax^3+bx^2+cx+d=0 all’equazione equivalente x^3+px+q=0 mediante le seguenti operazioni:

  1. divido tutti i coefficienti per a
  2. con la sostituzione x=y-d elimino il termine in x^2

vi lascio queste due operazioni per esercizio e aspetto i calcoli in commento

p.s.

dopo aver trovato il numero d opportuno provare a ridurre l’equazione famigerata x^3-x^2+x+1 che abbiamo lasciato in sospeso.

 

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5 risposte a M3.1011 The Dal Ferro Tartaglia Cardano Connection [1]

  1. bobcarr ha detto:

    aggiungo questa osservazione:

    con la sostituzione x = y + 1/3 l’equazione originale si può mettere nella forma:
    \displaystyle \left ( x-\frac{1}{3} \right )^3 + \frac{2}{3} \left (x-\frac{1}{3} \right ) + \frac{34}{27}

    così assomiglia di più all’originale

  2. bobcarr ha detto:

    perfetto, solo un piccolo errore nel quadrato; il risultato corretto è:

    y^3+ \frac{2}{3}y + \frac{34}{27}

    se non fosse chiaro scrivete prima di passare alla 2a fase.

  3. davekaster ha detto:

    ax^3 + bx^2 + cx + d

    divido tutto per a

    \displaystyle x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a}

    x^3 + ax^2 + bx + c

    sostituisco x con (y-k) e poi risolvo:

    (y-k)^3 + a(y-k)^2 + b(y-k) + c

    y^3-3y^2k + 3yk^2 - k^3 + ay^2-2ayk+ak^2 + by-bk + c

    y^2(-3k+a)+y^3 +3yk^2 - k^3 -2ayk+ak^2 + by-bk + c

    adesso per annullare y^2 noto che \displaystyle k = \frac{a}{3}

    Ora dopo aver calcolato il k, cerco di ridurre l’equazione del post precedente:

    x^3- x^2 + x +1

    \displaystyle (y+\frac{1}{3})^3 - (y+\frac{1}{3})^2 + y+\frac{1}{3} + 1

    \displaystyle y^3+y^2 +\frac{1}{3}y + \frac{1}{27} - y^2 + \frac{2}{3}y -\frac{1}{9} + y+\frac{1}{3} + 1

    \displaystyle y^3+2y +\frac{34}{27}

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