M3.1011 The Cardano Connection[2]

Ecco la seconda puntata.

Siamo ricondotti all’equazione

x^3+px+q=0

ora, l’idea base di Tartaglia-Cardano si basa sul fatto che un cubo si può scomporre geometricamente in due cubi più piccoli e tre parallelepipedi uguali; cioè:

\left ( u+v \right )^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)

quindi, ponendo x=u+v nell’equazione otteniamo:

(u+v)^3+p(u+v)+q=(3uv+p)(u+v)+u^3+v^3+q=0

Osserviamo che l’equazione è nelle incognite u e v. Certamente il numero u_0+v_0 sarà soluzione dell’equazione se

3u_0v_0+p=0 \quad \quad \text{e } \quad u_0^3+v_0^3+q=0

quindi dobbiamo risolvere il sistema:

\displaystyle uv = - \frac{p}{3} \quad \quad u^3+v^3 = -q

cioè il sistema

\displaystyle u^3v^3= - \frac{p^3}{27} \quad \quad u^3+v^3=-q

da quest’ultima osserviamo che u^3 e v^3 devono soddisfare l’equazione di secondo grado (per la famosa storia della somma-prodotto delle radici) :

\displaystyle z^2+qz-\frac{p^3}{27} =0

questa si chiama equazione risolvente dell’equazione cubica e, come si vede bene, è di secondo grado. Risolvendo l’equazione troviamo z1 e z2 e poi estrendo la radice cubica troviamo finalmente u e v.

Ma ora vi lascio il piacere di trovare i dettagli. Ricordiamo che l’equazione:

x^3-x^2+x+1=0

è sempre lì, e ci aspetta.

3u_0v_0+p=0 \quad \quad \text{e } \quad u_0^3+v_0^3+q=0
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5 risposte a M3.1011 The Cardano Connection[2]

  1. bobcarr ha detto:

    non vedo ancora la soluzione

  2. bobcarr ha detto:

    è meglio scrivere nella forma:

    \displaystyle u_0= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

    analogamente per v0

  3. davekaster ha detto:

    ora cerco di risolvere l’equazione di prima:

    x^3 - x^2 + x + 1

    \displaystyle y^3 + 2y + \frac{34}{27}

    \displaystyle z^2 + \frac{34}{27}y - \frac{8}{27}

    \displaystyle 27z^2 + 34y - 8

    Uso la formula ridotta

    \displaystyle z_{1,2} = \frac{-17  \pm \sqrt{17^2 + 8*27}}{27}

    poi sono tutti calcoli che non riesco a riportare perchè la maggiorparte sono approssimati e ho sonno, li scrivo io domani se nessuno ha voglia di scriverli prima..

  4. davekaster ha detto:

    C’è un errore di scrittura nel secondo passaggio:

    Al posto di (u^3+v^3) dovrebbe esserci (u+v)^3

    Comunque se come ben ho capito u^3 e v^3 sono le radici dell’equazione in z, allora basta risolverla..

    Adesso lo faccio

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