M3.1011 The Cardano Connection[3]

Terza puntata, la guerra continua.

Riassumendo per comodità:

L’equazione

x^3-x^2+x+1=0

può essere trasformata nella

\displaystyle y^3+2y + \frac{34}{27}=0

con una semplice sostituzione. Quest’ultima è della forma

x^3+px+q=0

e tutte le equazioni di terzo grado possono essere messe in questa forma.

Seguendo le linee del precedente articolo e il lavoro di davekaster arriviamo alla soluzione

\displaystyle u_0= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

e

\displaystyle v_0= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

perciò

\displaystyle y= u_0+v_0 =\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{- \frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

Applicando il tutto alla nostra equazione otteniamo, dopo facili calcoli,

\displaystyle y= u_0+v_0 =\sqrt[3]{ \frac{-17+\sqrt{505}}{27}}+\sqrt[3]{\frac{-17-\sqrt{505}}{27}}

Il problema è: come troviamo le altre 2 , eventuali, radici? Per quanto ne sappiamo, nota una radice dell’equazione, diciamo k, si divide il polinomio per y-k e , a norma del teorema di Ruffini, scomponiamo l’equazione nel prodotto del binomio y-k per un trinomio di secondo grado che poi sarà facile risolvere ( se ha radici reali).

Nel nostro caso la cosa non è semplice perchè l’espressione di k è piuttosto complicata. Invece che insistere su questo esempio, andiamo a considerarne uno molto più interessante.

Raffaele Bombelli da Bologna, nel suo libro Algebra (1572) risolve la seguente equazione:

x^3=15x+4

che noi trasformiamo in

x^3-15x-4=0

Applicando le formule di Cardano-Tartaglia, egli trova la soluzione:

\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}

e ovviamente la qualifica come impossibile. Però, come facilmente osserviamo anche noi (Ruffini), egli trova la soluzione banale x=4. Dividendo per x-4 otteniamo:

x^3-15x-4 = (x-4)(x^2+4x+1)=0

che ha le ulteriori soluzioni:

-2 + \sqrt{3} \quad -2- \sqrt{3}

Bene, benissimo: abbiamo una equazione di terzo grado che ha 3 soluzioni reali facilmente calcolabili e la formula di Cardano-Tartaglia che ci parla di radici impossibili (radici di numeri negativi).

Bombelli è un duro, non molla e trova le seguenti uguaglianze:

\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} = 2+ \sqrt{-1} \quad \quad \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} = 2- \sqrt{-1}

da cui si ricava

\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} = 2+ \sqrt{-1} + 2- \sqrt{-1} =4

Fantastico. Ecco dove si nasconde la soluzione x=4. Ma come avraà fatto a trovare le uguaglianze di cui sopra? Semplicissimo, dobbiamo dimostrare che:

\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} = 2+ \sqrt{-1}

elevando entrambi i membri alla 3 otteniamo:

\displaystyle 2+\sqrt{-121} = (2+\sqrt{-1})^3 = 8 + 12 \sqrt{-1} + 6 (\sqrt{-1})^2 + (\sqrt{-1})^3

\displaystyle 2+11\sqrt{-1} = 8 + 12 \sqrt{-1} + 6 (\sqrt{-1})^2 + (\sqrt{-1})^3

ora, a lui sembrava del tutto naturale che:

6 (\sqrt{-1})^2 = -6 \quad \quad (\sqrt{-1})^3=- \sqrt{-1}

se era naturale per lui, figuriamoci per noi. Allora si conclude:

\displaystyle 2+11\sqrt{-1} = 8 + 12 \sqrt{-1} + 6 (\sqrt{-1})^2 + (\sqrt{-1})^3

\displaystyle = 8 + 12 \sqrt{-1} -6 - \sqrt{-1} = 2+11\sqrt{-1}

identità soddisfatta.

In conclusione: dalla formula di Cardano-Tartaglia, con abili manipolazioni algebriche che prevedevano anche un’algebra dello strano numero \sqrt{-1}, Bombelli fa scomparire la scomoda radice impossibile e trova il risultato. La radice impossibile è servita solo di passaggio e poi scompare, quindi perchè non accettarla?

Voi cosa pensate?

Annunci
Questa voce è stata pubblicata in equazioni, Equazioni algebriche, Equazioni algebriche, M3, M3.1011, Matematica e contrassegnata con , , , , . Contrassegna il permalink.

12 risposte a M3.1011 The Cardano Connection[3]

  1. bobcarr ha detto:

    pazienza, bisogna aspettare il prossimo articolo che è in cottura

    per adesso: BUONA PASQUA

  2. davekaster ha detto:

    Ma \sqrt{-1} è maggiore o minore di 0?

  3. bobcarr ha detto:

    Quelli del tempo erano restii ma la formula la usavano.

    Certo erano pazzi; ma non hai visto quelli di oggi.

    Per quello che pensava realmente Bombelli bisogna leggere il suo libro “Algebra” di cui è disponibile una edizione recente (Einaudi credo) forse anche in biblioteca.

  4. davekaster ha detto:

    Quelli del tempo hanno accettato la sua risoluzione dell’equazione?

    E comunque non ho capito come fa un numero ad apparire e scomparire senza recare danni all’equazione.
    Pazzi!

    Comunque lei ha detto che loro ragionavano “geometricamente”, vedevano le incognite come segmenti ecc ecc..
    Bombelli che significato ha dato a \sqrt{-1} ?

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...