M3.1011 Divagazione interessante[1]

Sempre in argomento Cardano Connection, concediamoci una breve divagazione interessante.

Harold M. Edwards , eminente matematico, nell’articolo La risoluzione delle equazioni algebriche compreso nel volume II di La matematica, Problemi e teoremi Einaudi 2008, scrive:

A dire la verità, è necessaria solo una piccola riflessione per convincersi che il problema “Trovare tutte le soluzioni di x^n+b x^{n-1} + c x^{n-2}+ \cdots + e =0 ” è mal posto. Quali ragioni vi sono per aspettarsi che vi sia una qualche soluzione? Già nel caso n=2 le uniche soluzioni di x^2+1=0 sono le soluzioni “immaginarie” … che hanno un’esistenza molto discutibile. Per valori più grandi di n, ci si dovrebbe probabilmente aspettare che le soluzioni, qualora ve ne siano, siano “quantità” ancora meno familiari e ancora più discutibili.

Per questo motivo, è ragionevole spostare l’attenzione dalle soluzioni ai sistemi numerici in cui si effettuano i calcoli.

Si consideri adesso il seguente problema: ” Data un’equazione x^n+b x^{n-1} + c x^{n-2}+ \cdots + e =0, come si possono estendere gli usuali metodi di calcolo con i numeri in maniera tale che l’equazione data abbia “n soluzioni”?

Le sottolineature sono mie.

Vediamo di chiarire questi concetti con un esempio.

Supponiamo di conoscere solo i numeri razionali (frazioni) e non gli irrazionali, tra i quali le radici quadrate. L’equazione x^2=2 non ha soluzioni razionali, non esistono frazioni il cui quadrato sia 2; allora noi ne affermiamo l’esistenza. Affermiamo che esiste un numero il cui quadrato è 2 e lo chiamiamo \sqrt{2} e adesso procediamo a fare il calcoli con questo nuovo numero.

Simpatico no?

I numeri nuovi sono del tipo a+b \sqrt{2} dove a e b sono frazioni.

  • somma (a+b \sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d) \sqrt{2}
  • prodotto (a+ b \sqrt{2}) (c+d \sqrt{2}) = dopo facili calcoli = (ac+2 bd) + (ad +cb) \sqrt{2}

dove abbiamo usato le proprietà commutativa, associativa e distributiva dei soliti calcoli e il fatto (nuovo) che \sqrt{2} \sqrt{2} =2.

Si vede chiaramente che il risultato è sempre della forma a+ b \sqrt{2}.

Fantastico. Non abbiamo più freni. Adesso proviamo, anzi, provate con l’equazione x^3 = 2. Affermate che l’equazione ha una soluzione, la chiamate …  e ma allora se vi devo dire tutto io.

Attendo commenti e risultati.

Advertisements
Questa voce è stata pubblicata in equazioni, Equazioni algebriche, Equazioni algebriche, M3, M3.1011, Matematica, Numeri complessi e contrassegnata con , , . Contrassegna il permalink.

12 risposte a M3.1011 Divagazione interessante[1]

  1. Davide Mattiuzzo ha detto:

    Grazie mille.

    Comunque ho notato un’altra cosa:

    Per fare in modo che attorno alle radici non razionali di una equazione $x^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + … + d$ si possa creare un’algebra, e che quindi rispettino le regole della somma e del prodotto, esse devono necessariamente essere presentate in forma polinomiale tramite un polinomio ordinato che abbia grado \displaystyle \frac{n}{2} se n è pari e \displaystyle \frac{n+1}{2} se n è dispari, relativamente al numero non-razionale che si è trovati.

    Perchè tutte le potenze del numero irrazionale con esponente \displaystyle > \frac{n}{2}, moltiplicate fra loro, possono essere semplificate come ho fatto prima.

  2. bobcarr ha detto:

    fantastico

    era proprio quello che mi aspettavo

    1k-credito a davekaster per la brillante intuizione

    un ringraziamento anche a Nicola Deo per il contributo alla discussione, non era facile; la prossima volta andrà meglio

    e ora: in attesa per la prossima sfida.

  3. Davide Mattiuzzo ha detto:

    Come abbiamo notato dal curioso quanto fallimentare tentativo di Deo, il prodotto fra questi numeri nuovi è un problema di non poco conto.

    Io ho pensato di modificare la struttura del polinomio sotto il quale si presenta il numero irrazionale, aggiungendo un termine che contiene il quadrato della radice irrazionale, in questo modo:

    a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c

    dove a, b e c sono dei coefficienti razionali; frazioni insomma.

    Ipotizzando che \sqrt[3]{2} è una delle radici dell’equazione x^3 = 2 , è palese che (\sqrt[3]{2})^3 = 2

    La somma di due polinomi di questo tipo è banale.
    Il problema sembrava essere il prodotto, ma ho dimostrato che non è così:

    (a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c)(d(\sqrt[3]{2})^2 + g\sqrt[3]{2} + h) =

    ad(\sqrt[3]{2})^4 + ag(\sqrt[3]{2})^3 + ah(\sqrt[3]{2})^2 + bd(\sqrt[3]{2})^3 + bg(\sqrt[3]{2})^2 + bh\sqrt[3]{2} + cd(\sqrt[3]{2})^2 + cg\sqrt[3]{2} + ch =

    2ad\sqrt[3]{2} + 2ag + ah(\sqrt[3]{2})^2 + 2bd + bg(\sqrt[3]{2})^2 + bh\sqrt[3]{2} + cd(\sqrt[3]{2})^2 + cg\sqrt[3]{2} + ch

    Se avete notato, il trucco sta nel trasformare (\sqrt[3]{2})^3 in 2 e (\sqrt[3]{2})^4 in 2\sqrt[3]{2}

    Ora con il raccoglimento parziale:

    (ah + bg + cd)(\sqrt[3]{2})^2 + (2ad + bh + cg)\sqrt[3]{2} + 2ag + 2bd + ch

    Finito!

  4. nicola deo ha detto:

    Ok ci sono arrivato il prodotto tra
    z_{1} e z_{2} cioe
    z_{3}=(a_{1}+b_{1}i)*((a_{2}+b_{2}i)=
    z_{3}=a_{1}a_{2}+a_{2}b_{1}i+a_{1}b_{2}i+b_{1}b_{1}i^2
    si puo raccogliere i tra
    a_{2}b_{1}i e a_{1}b_{2}i
    che verrebbe
    z_{3}=(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{1}i^2)+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2})i

  5. bobcarr ha detto:

    p.s.

    c’ho k-crediti crescenti

    • nicola deo ha detto:

      Ok mi sebra facile.
      Se l’equazione x^3=2 avesse una soluzione la chiamerei i (anche se in realta ne ha 3 di soluzioni una reale e 2 che appartengono ai numeri complessi) e potrei dire che i numeri nuovi sono nella forma
      a+bi dove a e b sono due numeri reali.
      Quindi se z_{1}=a_{1}+b_{1}i e z_{2}=a_{2}+b_{2}i
      la somma sarà z_{3}=z_{1}+ latex z_{2} $ cioè
      z_{3}=a_{1}+b_{1}i+a_{2}+b_{2}i ma quì si può raccogliere i tra b_{1}i e b_{2}i che verrebbe fuori
      z_{3}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i .
      Adesso faccio anche per il prodotto.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...