M3.1011 Una divagazione interessante[2]

The algebraic revolution.

Evariste Galois rivoluziona l’algebra agli inizi dell’800 affermando semplicemente l’esistenza di una soluzione di un’equazione algebrica

x^n+ bx^{n-1} + \cdots + e=0

anzi, di più: afferma che tutte le soluzioni di un’equazione possono essere descritte nei termini di una singola soluzione di un’altra equazione, ausiliaria di quella data che chiamiamo, da allora, risolvente di Galois.

E ora un esempio:

x^3=2

abbiamo visto che una soluzione é.

x = \sqrt[3]{2}

Consideriamo l’equazione ausiliaria

y^6+108=0

e sia y una sua soluzione; quindi

y^6 = -108

Allora le 3 soluzioni dell’equazione di partenza sono:

\displaystyle x= \frac{y^4}{18} \quad \quad x=\frac{18y-y^4}{36} \quad \quad x=\frac{-18y-y^4}{36}

Non ci credete? dimostriamo la prima:

\displaystyle x= \frac{y^4}{18}

\displaystyle x^3= \frac{y^{12}}{18^3} =\frac{(y^6)^2}{18^3}= \frac{(-108)^2}{18^3} = \frac{9^2 \cdot 12^2}{2^3 \cdot 9^3}=

= \displaystyle \frac{12^2}{8 \cdot 9} = 2

bingo.

E ora la seconda:

\displaystyle x^3 = (\frac{18y-y^4}{36})^3

e adesso non ho tempo di fare tutti i conti, magari qualcuno mi darà una mano e verificherà che risulta 2.

Fantastico no?

p.s.

Tutto questo è sempre tratto da

Harold M. Edwards , La risoluzione delle equazioni algebriche in volume II di La matematica, Problemi e teoremi  Einaudi 2008

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6 risposte a M3.1011 Una divagazione interessante[2]

  1. bobcarr ha detto:

    Siccome non vedo contributi, provvedo – stancamente – ai calcoli mancanti:

    \displaystyle \left (- \frac{18y+y^4}{36} \right )^3 = -\frac{18^3y^3+3\cdot 18^2y^6+ 3 \cdot 18 y^9 +y^{12}}{36^3}
    \displaystyle = y^3 \left (- \frac{18^3 +3 \cdot 18^2y^3+ 3 \cdot 18(-108) + y^3(-108)}{36^3}   \right )
    \displaystyle = y^6 \left (- \frac{3 \cdot 18^2 - 108}{36^3}  \right) = 2

    c.v.d

  2. Davide Mattiuzzo ha detto:

    Si può andare avanti per me, comunque prof, dovrei parlarle per un progetto che mi ha proposto mio papà..
    Magari possiamo farlo o quest’estate via internet, o direttamente l’anno prossimo..

    A lui servirebbe un’applicazione web (magari da sviluppare in python se ci sono i requisiti) per l’inserimento e la gestione dei permessi/ferie dei dipendenti.. Secondo lei si può fare?

    • bobcarr ha detto:

      Non ho capito: si può andare avanti ma chi? tocca a te muovere ora.

      Per il progettino del papà: quella roba là si fa con un dbms o altrimenti detto database, argomento di 5a a meno che tu non voglia anticipare …

  3. bobcarr ha detto:

    facciamo i conti:

    \displaystyle \left ( \frac{18y-y^4}{36} \right )^3 = \frac{18^3y^3-3\cdot 18^2y^6+ 3 \cdot 18 y^9 -y^{12}}{36^3}
    \displaystyle = y^3 \left ( \frac{18^3 -3 \cdot 18^2y^3+ 3 \cdot 18(-108) - y^3(-108)}{36^3}   \right )
    \displaystyle = y^6 \left ( \frac{-3 \cdot 18^2 + 108}{36^3}  \right) = 2

    facile, no?

    adesso l’altra
    attenzione, non serve rifare tutti i calcoli o no?

  4. Davide Mattiuzzo ha detto:

    Devo postarli io o aspetto che qualcuno si interessi alla faccenda?

    Su carta i risultati combaciano..

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