M3.1011 Ferrari: ultimo

Va bene: Cardano e le equazioni di terzo grado, ma quelle di quarto?

x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0

Lodovico Ferrari, allievo di Cardano, in un capitoletto striminzito dell’Ars Magna (opera di Cardano) scrive questo gioiello (in simbologia moderna):

Operando la sostituzione y=x+\frac{a}{4} l’equazione di quarto grado diventa:

y^4+py^2+qy+r=0

con gli opportuni significati delle lettere p,q,r. Completando il quadrato sulla sinistra e spostando i termini lineari sulla destra, si ottiene:

\displaystyle \left ( y^2+ \frac{p}{2} \right )^2 = -qy -r + \left ( \frac{p}{2} \right )^2

aggiungiamo una quantità incognita u a sinistra dentro il quadrato e sulla destra i corrispondenti termini dello sviluppo:

\displaystyle \left ( y^2+ \frac{p}{2} +u\right )^2 = -qy -r + \left ( \frac{p}{2} \right )^2 + 2uy^2+pu + u^2

L’idea di Ferrarri è di cercare un valore di u tale che il termine di destra sia un quadrato pure lui. Guardando i termini in y^2 e y si vede che se il termine di destra può essere il quadrato solo di:

\displaystyle \sqrt{2u}y - \frac{q}{2 \sqrt{2u}}

perciò dobbiamo necessariamente avere:

\displaystyle -qy -r + \left ( \frac{p}{2} \right )^2 + 2uy^2+pu + u^2 = \left ( \sqrt{2u}y - \frac{q}{2 \sqrt{2u}} \right )^2

elevando al quadrato e semplificando otteniamo:

\displaystyle -r + \left ( \frac{p}{2} \right ) ^2 +pu+u^2= \frac{q^2}{8u}

portando a denominatore comune e semplificando:

8u^3+8pu^2+(2p^2-8r)u-q^2=0

una fantastica equazione di terzo grado, risolubile con il metodo del maestro Cardano.

Ottenuto un valore di u possiamo dire che l’equazione di partenza si trasforma nell’eguaglianza di due quadrati:

\displaystyle \left ( y^2+ \frac{p}{2} +u\right )^2 = \left ( \sqrt{2u}y - \frac{q}{2 \sqrt{2u}} \right )^2

e quindi, estraendo le radici quadrate:

\displaystyle y^2+ \frac{p}{2} +u = \pm \left ( \sqrt{2u}y - \frac{q}{2 \sqrt{2u}} \right )

e finalmente otteniamo le soluzioni risolvendo due equazioni di secondo grado in y.

Resterebbe da discutere il caso u=0 (escluso per ovvi motivi) ma questo caso risulta di facile soluzione.

Bel risultato, no?

Per il piacere di tutti voi (?) propongo un’equazioncina da sottoporre al metodo, tanto per vedere se funziona davvero:

y^4 + 2y^2 + y + 1=0

ricchi premi, come al solito.

p.s.

chi mi saprebbe formulare un’ipotesi sul perchè nell’Ars Magna di Cardano, all’equazione di terzo grado sono dedicati molti capitoli e all’equazione di quarto solo un mezzo capitoletto?

astenersi perditempo

Questa impostazione è tratta da:

Jean-Pierre Tignol, Galois’ Theory of algebraic equations World Scientific 2001

p.s.p.s.

chi avesse difficoltà nel leggere il testo non si faccia scrupoli di chiedere chiarimenti

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