M3.1011 Complex numbers [1]

Intanto un piccolo ripasso:

Abbiamo detto che i numeri complessi si possono pensare come:

  1. Le coppie di numeri reali
  2. Segmenti orientati del piano uscenti dall’origine
  3. I numeri reali a cui aggiungiamo (algebricamente) l’elemento estraneo \sqrt{-1} che chiamiamo i (numero immaginario).

Per chiarimenti sul punto 3) si vedano gli articoli su Cardano.

Per il punto 2) basta ricordare quanto appreso in fisica sui vettori del piano: tutte le operazioni viste in applicazione alle grandezze vettoriali (forze, velocità, accelerazioni ecc.) possono essere riconosciute in quanto andiamo dicendo.

Sarebbe opportuno – anche se non strettamente necessario –  ricordare quanto abbiamo detto nella lezione sugli isomorfismi.

Vediamo qualche dettaglio della 3): per esigenze algebriche, dobbiamo poter sommare e moltiplicare un numero reale con l’unità immaginaria i e quindi il generico numero che otteniamo sarà della forma a+ ib con a e b numeri reali.

Applichiamo tutte le usuali proprietà algebriche delle operazioni con la sola aggiunta della proprietà i^2=-1.

Le operazioni risultano:

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i^2bd =

= (ac - bd) + i(ad+bc)

applicando varie volte le proprietà commutativa, distributiva  e – nella seconda – la nuova proprietà dell’unità immaginaria.

Osserviamo che, in entrambi i casi, otteniamo come risultato un numero della forma a+ib cioè: sommando o moltiplicando numeri complessi otteniamo numeri complessi. La moltiplicazione sembra seguire una regola poco intuitiva: non possiamo rinunciarvi perchè deriva direttamente dalle esigenze imposte da noi stessi all’intera struttura: mantenere le proprietà algebriche e i^2=-1; esattamente come aveva calcolato Tartaglia.

Veniamo alla presentazione 1). Perchè è necessaria? in realtà non lo è; però seguendola otteniamo esattamente la stessa struttura dei numeri complessi senza dover parlare di radici di numeri negativi e questo è molto confortante. Inoltre un numero complesso visto come coppia di numeri reali si può subito visualizzare come un punto del piano e questo ha i suoi vantaggi.

Dunque: i numeri complessi sono coppie di numeri reali e le operazioni sono definite nel seguente modo:

  1. (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
  2. (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

e non abbiamo più bisogno di giustificare la strana regola della moltiplicazione: per lo stesso motivo di prima.

Ora bisogna verificare che effettivamente le operazioni definite godono delle proprietà algebriche complete (tutte quelle che definiscono la struttura che abbiamo chiamato corpo). Le proprietà sono:

Somma: associativa, commutativa, esiste lo zero, esiste opposto per ogni numero.

Prodotto: associativa, commutativa, esiste l’uno, esiste inverso per ogni numero non zero.

Distributiva delle due insieme.

Dimostro solo l’esistenza dell’inverso moltiplicativo, lasciando tutte le altre per esercizio (di chi legge e le dimostrazioni possono essere postate in commento).

L’uno, elemento neutro della moltiplicazione nel caso complesso è (1,0), quindi se (a,b) è un numero complesso qualsiasi, dobbiamo dimostrare che esiste (x,y) tale che (a,b)(x,y) = (1,0). Eseguendo la moltiplicazione si ha che (ax-by, bx+ay) = (1,0) e quindi deve essere ax-by=1 e bx+ay=0 che è un sistema di primo grado. Risolto il sistema otteniamo l’unica soluzione x= a/(a^2+b^2) e y= -b/(a^2+b^2). In conclusione l’inverso moltiplicativo esiste ed è. \displaystyle \left (\frac{a}{a^2+b^2}, - \frac{b}{a^2+b^2} \right ).

 

Fine

Per esercizio sulle proprietà algebriche: calcolare \displaystyle \frac{(1,1)}{(2,-1)} che si può anche scrivere: \displaystyle \frac{1+i}{2-i}

 

Advertisements
Questa voce è stata pubblicata in equazioni, Equazioni algebriche, M3, M3.1011, Matematica, Numeri complessi e contrassegnata con , , . Contrassegna il permalink.

Una risposta a M3.1011 Complex numbers [1]

  1. Pingback: M4.1112 Complessi 1 « In teoria

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...