M3.1112 Una roba pazzesca

Cercando qualche esercizio da proporre, trovo questa cosa incredibile:

 

Determinare m in modo tale che il polinomio x^2-6x+m sia positivo per tutti gli x reali. Per tali m risolvere poi la disequazione:

\displaystyle \sqrt{x^2-6x+m} > 3x-1

 

voi sapreste cosa fare?

 

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12 risposte a M3.1112 Una roba pazzesca

  1. Luca Florio ha detto:

    Buongiorno, facendo i compiti oggi, ho avuto un problema su una equazione con il modulo:
    ($)latex
    \\ \left|x-7 \right|=x\\
    x-7=x \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} 2x=7 \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} x=\frac{7}{2}\\
    x-7=-x \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} \ {} 7 \leftarrow possibile???
    $

  2. Bincoletto Davide ha detto:

    Osserviamo il polinomio iniziale:

    x^2 - 6x

    Questo assume dei valori negativi quando:

    0 \leq x \leq6

    Inoltre questo polinomio ha il suo valore minimo in 0 \leq x \leq6 quando:

    x = 0

    ed esso vale perciò 9 - 18 = - 9 … facile, quindi inseriamo dopo i calcoli m \geq 9

    Il polinomio diventa allora SEMPRE positivo, perchè se m = 9 questo è un quadrato di binomio.

    {(x - 3)}^2 è sempre positivo… al massimo è nullo se x = 0 quando X = 3

    LA PARTE CHE SEGUE…

    Risolviamo la disequazione:

    \sqrt {x^2 + 6x + m} > 3x - 1

    Adesso creo i due sistemi di disequazioni:

    \begin{cases} x^2 - 6x + m \geq 0, & \\ 3x - 1  9x^2 - 6x + 1, & \end{cases}

    Ora finalmente risolviamo il primo:

    \begin{cases} \forall x, & \\ x < \displaystyle \frac {1}{3}, & \end{cases}

    … e questo era facile, quindi soluzione finale: x < \displaystyle \frac {1}{3}

    ORA IL SECONDO… e qui ho trovato i veri problemi…

    \begin{cases} x \geq \displaystyle \frac {1}{3}, & \\ 8x^2 < m - 1 \end{cases}

    Continuo a risolvere…

    \begin{cases} x \geq \displaystyle \frac {1}{3}, & \\ x^2 < \displaystyle \frac {m - 1}{8} \end{cases}

    Tralascio i calcoli perchè sono un po' confusionati, mostro semplicemente che il risultato dell' ultima disequazione è:

    \displaystyle - {\sqrt {\frac {m - 1}{ \sqrt {8}}}} < x < \displaystyle \sqrt \frac {m - 1}{ \sqrt {8}}

    Quindi il tutto diventa…

    \begin{cases} x \geq \displaystyle \frac {1}{3}, & \\ \displaystyle - {\sqrt {\frac {m - 1}{ \sqrt {8}}}} < x < \displaystyle \sqrt \frac {m - 1}{ \sqrt {8}} \end{cases}

    A QUESTO PUNTO ci avviciniamo alla probabile risoluzione.

    Facciamo l'intersezione dei risultati: m è maggiore di 9, quindi certamente \displaystyle - {\sqrt {\frac {m - 1}{ \sqrt {8}}}} è NEGATIVO e va pertanto ESCLUSO…

    Contrariamente \displaystyle \sqrt \frac{m - 1}{ \sqrt 8} per m \geq 9 è sempre più grande di \displaystyle \frac {1}{3}

    QUINDI…

    Il risultato finale dovrebbe essere, se non ho sbagliato il tutto:

    \displaystyle \frac {1}{3} \leq x \leq \displaystyle \sqrt \frac {m - 1}{ \sqrt {8}}

    ALLA FINE DI TUTTO…. UNISCO LE SOLUZIONI DEI SISTEMI E LE SOLUZIONI FINALI SONO:

    x \leq \displaystyle \boxed {\sqrt \frac{m - 1}{ \sqrt 8}}

    CON QUESTO HO CONCLUSO… NON SONO PIENAMENTE SICURO DEI RISULTATI E PER LA PARTE FINALE RINGRAZIO UN AMICO CHE MI HA AIUTATO… SPERANDO DI AVER FATTO GIUSTO

  3. ahmedkouza ha detto:

    quindi in teoria sono i valori di m>9?

  4. Edoardo Bastianetto ha detto:

    Per rendere il polinomio sempre positivo per qualsiasi x reale, si potrebbe calcolare quando il delta è negativo, quindi posto come condizione di esistenza della radice si potrebbe elevare e ci si ritroverebbe con una disequazione a due incognite x e m di cui una è di secondo grado x .. non sono molto sicuro..

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