M4.1112 Complessi 3

Dati i recenti avanzamenti nella bellissima teoria dei numeri complessi, ecco qualche esercizio di merito.

Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:

  1. \displaystyle -3
  2. \displaystyle 2i
  3. \displaystyle \frac{1+i}{i\sqrt{3}}
  4. \displaystyle i \frac{\sqrt{3}+i}{1-i}
  5. \displaystyle \frac{i(i-1)}{(\sqrt{3}+i)^2}
Per i patiti, ancora qualche equazione:
  1. \displaystyle z^3+3z-4=0
  2. \displaystyle z^2=2i
  3. \displaystyle z^5=1
p.s.
la n.5 mi sembra tosta
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38 risposte a M4.1112 Complessi 3

  1. bobcarr ha detto:

    direi che è il caso di chiudere il post

    mi sembra doveroso concludere quanto segue:

    0.5 crediti edoardo per il lavoro sulla n.5
    0.5 crediti ahmed per l’esempio esemplare e commenti vari
    0.2 crediti matteo per l’insistente lavoro e per l’apprendimento del latex

  2. Data la disposizione dei risultati, stessa distanza dal centro e stessa ampiezza degli “angoli”*, se per un numero immaginario Z, esiste un numero K con il quale il numero immaginario Z elevato è uguale a 1 allora Z è un punto del “cerchio” di raggio 1.
    Cioè dato che x^k forma un poligono con k lati, es con k=4 si forma un quadrato, con un k infinito la figura che si viene a formare dovrebbe essere un cerchio.. quindi:

    Se esiste K | Z^K=1 => Z è un punto del cerchio di raggio1

    giusto?

  3. Alcune considerazione sulla 3 forse soluzione parziale:

    1.Z^n=k lavorando nel campo dei complessi ha n soluzioni, nel nostro caso dobbiamo aspettarci quindi 5 soluzioni. Questi risultati elevati alla n devono dare 1 quindi la loro distanza dal centro sarà pari a radicek di n. Nel nostro caso radice quinta di 1 quindi 1.

    2.Graficamente sembra che le soluzioni abbiano la stessa distanza fra di loro.

    1.2.Quindi le soluzioni avendo la stessa distanza dal centro e avendo la stessa distanza fra di loro formano angoli* della stessa ampiezza.
    angoli*= con centro origine, e semirette che partono dall’origine e puntano a due soluzioni (consegutive)

    Nel nostro caso doppiamo dividere per 5, quindi ogni “angolo” ha un ampiezza di 2/5 pi greco. Quindi forse le soluzioni sono date dai valori di seno e coseno (per i) rispettivamente negli angoli 2/5 pi 4/5pi -2/5 pi e – 4/5 pi.

    Es. seconda soluzione = cos((2/5)pi)+sen((2/5)pi)i
    terza soluzione = cos((4/5)pi)+sen((4/5)pi)i ecc..

  4. Alessandrini Matteo ha detto:

    Scrivo i passaggi della numero 4:
    1 \displaystyle i\frac{\sqrt{3}+i}{1-i}*\frac{1+i}{1+i}
    2 \displaystyle i\frac{\sqrt{3}+i\sqrt{3}+i+i^2}{1-i^2}
    3 \displaystyle \frac{i\sqrt{3}-\sqrt{3}-1-i}{2}

    Ma non so più andare avanti: potrebbe dirmi dove sbaglio?

  5. Omar Alberti ha detto:

    ma professore io non riesco a capire perchè la seconda risulta infinito.. me lo potrebbe spiegare? A me l’angolo risulta che non esiste… E’ giusto..????

  6. edoardobastianetto ha detto:

    Non posso scrivere in latex, la semplificazione della quarta potrebbe essere: 1/2(-1-sqrt(3) + 1/2(-i+sqrt(3)i)

  7. Alessandrini Matteo ha detto:

    2) infinito.
    1) equazioni.
    \displaystyle z_{1}=1 \quad z_{2}=\frac{-1-i\sqrt{15}}{2} \quad z_{3}=\frac{-1+i\sqrt{15}}{2}
    2)equazioni.
    \displaystyle z_{1}=\frac{-i4}{2} \quad z_{2}=\frac{+i4}{2}

  8. bobcarr ha detto:

    per darvi un aiutino svolgo la n.3

    \displaystyle \frac{1+i}{i\sqrt{3}} = \frac{(1+i)(i)}{i\sqrt{3}i}= \frac{-1+i}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{i}{\sqrt{3}}

    adesso è nella forma algebrica standard, quindi posso calcolare modulo e argomento:

    modulo= \displaystyle \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}

    argomento = \displaystyle \arctan{\frac{b}{a}} =\arctan{\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\frac{1}{\sqrt{3}}}}= -1

    quindi la forma trigonometrica è:

    \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}\left (\cos \frac{3}{4} \pi + i \sin \frac{3}{4} \pi \right )

    e voilà

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