M4.1112 Complessi 5

Troppo bello per essere dimenticato.

Un esercizio dimostrativo  (tosto):
Sia z un complesso; dimostrare che \displaystyle \frac{1+iz}{1-iz} ha modulo 1 se e solo se z è reale (cioè parte immaginaria nulla).
Suggerimenti: porre z=x+iy e usare la formula \displaystyle \left | \frac{z_1}{z_2} \right | = \frac{|z_1|}{|z_2|} (non avendo nulla da fare, si potrebbe dimostrare pure questa)
Ricchi premi
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10 risposte a M4.1112 Complessi 5

  1. bobcarr ha detto:

    un mucchio di calcoli per niente, infatti, siccome deve essere:
    \displaystyle \left |\frac{z_1}{z_2} \right | = \frac{|z_1|}{|z_2|}
    calcolando il secondo membro si ha:
    \displaystyle \frac{|1-y+ix|}{|1+y-ix|} = \frac{\sqrt{(1-y)^2+x^2}}{\sqrt{(1+y)^2+x^2}} = 1 e perciò:
    \displaystyle \sqrt{(1-y)^2+x^2}=\sqrt{(1+y)^2+x^2}
    \displaystyle 1+y^2-2y+x^2=1+2y+y^2+x^2 ed infine:
    \displaystyle y=0 come si voleva (o no?)

  2. bobcarr ha detto:

    non posso credere che nessuno sappia come andare avanti

    almeno 2 crediti

  3. bobcarr ha detto:

    metto una dritta:

    se z = x+iy allora si ha:

    \displaystyle \left | \frac{1+iz}{1-iz} \right | = \left | \frac{1+i(x+iy)}{1-i(x+iy)} \right | = \left | \frac{1-y+ix}{1+y-ix} \right | = \left | \frac{(1-y+ix)(1+y+ix)}{(1+y)^2+x^2} \right | \cdots e così via fino al risultato. Poi considero che deve essere:
    \displaystyle \left | \frac{z_1}{z_2} \right | = \frac{|z_1|}{|z_2|} quindi …

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