Riemann 3

Si va avanti.

Dicevamo: la funzione che meglio approssima P(x) è:

\displaystyle \frac{x}{\ln x}

nel senso che ora precisiamo: se proviamo a fare il rapporto \displaystyle \frac{P(x)}{\frac{x}{\ln x}} vediamo che..

un momento, questo lo lascio calcolare  a voi; in altre parole.

  1. costruire una tabella di valori x, P(x), x/ln x, P(x)/ (x /ln x) da cui si deduce che …
  2. incredibilmente (e andiamo sul difficile) esiste una funzione che approssima molto meglio P(x); si tratta della funzione che restituisce l’area sotto la curva 1/ln x dal punto 2 al punto x. In altre parole: per avere P(x) calcolo l’area sotto la curva 1/ln x fra il punto 2 e il punto x. Per il calcolo dell’area sotto la curva dovreste ricordarvi quanto visto in classe in occasione della lezione su Geogebra. Le funzioni approssimanti sono SommaInferiore(f,a,b,n) o SommaSuperiore(f,a,b,n) dove f è la funzione, a e b sono gli i estremi e n è il numero di rettangoli approssimanti. Il problema consiste nel calcolarsi alcuni valori di questa funzione e di compararli con la funzione x/ln x del punto 1. Ovviamente sarebbe FANTASTICO riuscire a inglobare tutto in un unico programma, ma temo che la cosa troppo avanzata (per ora). O no?
qui si esagera: almeno 2 crediti complessivi in palio (o forse 3?)
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10 risposte a Riemann 3

  1. bobcarr ha detto:

    buon lavoro sul n.1
    ora estendere a valori x=10^9 senza grafico, solo tabella

    • Ci mette troppo, rifaccio il programma: per vedere se un numero è primo Invece di controllare per tutti i numeri da x alla radice di x, controllo per tutti i numeri primi da x alla radice di x, perché se non è divisibile per 2 non lo è neanche per 4.

      • Se i valori sono giusti, questa funzione che approssima P(x) sembra stranamente funzionare sempre meglio, cioè con valori via via più grandi le differenze fra le due (in percentuale) decrescono, avvicinandosi all’1, cioè all’uguaglianza fra le due.
        Questo particolarità del rapporto fra le due funzioni forse risiede nel fatto che non sono funzioni esponenziali e quindi differiscono sempre di più ma anzi sono funzioni che crescono sempre più lentamente e quindi le differenze invece che aumentare appunto diminuiscono (sempre più lentamente).

      • bobcarr ha detto:

        il valore 1,0537 è corretto
        il commento che hai fatto non è del tutto giusto; che le funzioni siano esponenziali o meno non è importante, quello che conta è che sino sempre più simili, al limite: uguali
        sembra necessario precisare questa nozione ed è ciò che faremo subito dopo la topologia

  2. \displaystyle Rapporto(x) = \frac{P(x)}{\frac{x}{ln(x)}}

    Rapporto(100): 25 / 21,71472 = 1,15129
    Rapporto(1000): 168 / 144,76483 = 1,16050
    Rapporto(5000): 681,00000 / 597,39985 = 1,13994
    Rapporto(10000): 1229 / 1085,73620 = 1,13195

  3. Ho tracciato il grafico del rapporto tra P(x) e x/(ln(x)) dopo una brevissima oscillazione si stabilizza e inizia a diminuire molto lentamente.
    A x=1000 il rapporto è 1,16 a 10000 il rapporto è 1,13

    grafico: http://i52.tinypic.com/2pq49ds.jpg

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