M4.1112 Prova orale

  1. In preparazione all’evento:

  1. Se z=a+ib allora chi è: \displaystyle z+ \bar{z}, \quad z - \bar{z}, \quad \bar{z \bar{z}}
  2. Scomporre \displaystyle x^4 +1 =0 in fattori di primo grado.
  3. Scrivere le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette con equazione scritta in forma esplicita.
  4. Come si potrebbe calcolare la distanza di un punto da una retta?
  5. Dimostrare che 1 è punto di accumulazione per l’insieme \displaystyle A = \left \{ x= 1+ 2 ^{-n}, \quad n \in N \right \}
  6. Calcolare il \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{n^2}{n^2-1}
  7. Calcolare il \displaystyle \lim_{x \to - \infty} 3^{-x}
intanto vedete che si può fare
\ Frac
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33 risposte a M4.1112 Prova orale

  1. davekaster ha detto:

    Per chi è interessato posto il procedimento di come io e Ahmed abbiamo risolto assieme il limite che avevo proposto.

    \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x^2-1}-2}{x(x-3)}

    Notiamo subito che sostituendo 3 all’incognita (secondo i teoremi sulla continuità delle funzioni elementari), il limite diventa di forma indeterminata.
    Ma razionalizzando il numeratore, per farlo diventare una differenza di cubi ottengo:

    \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x^2-1}-2}{x(x-3)} \times \frac{\sqrt[3]{(x^2-1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1}+4}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1}+4}

    \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2-1-8}{x(x-3)(\sqrt[3]{(x^2-1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1}+4)}

    \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)(\sqrt[3]{(x^2-1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1}+4)}

    Ora semplificando x-3 sopra e sotto ottengo un limite calcolabile per x \to 3 che equivale a \displaystyle \frac{1}{6}

  2. davekaster ha detto:

    Non sapevo dove postare questa domanda, la posto qui:

    \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x^2 -1} -2}{x(x-3)}

    A quanto tende la funzione? È uno degli esempi indeterminati che ci ha spiegato il prof, come faccio qui?

  3. ahmedkouza ha detto:

    dimostrazione che 1 è punto di accumulazione per esercizio n°5:
    perché 1 sia punto di accumulazione devono cadere infiniti punti in un suo qualsiasi intorno, il quale contiene l’intervallo aperto \displaystyle ]1- \epsilon,1+\epsilon[
    siccome 1 è anche limite inferiore, allora si considererà solo intorno destro procedendo quindi con la seguente disequazione:

    \displaystyle 1+2^{-x} < 1+ \epsilon
    \displaystyle 2^{-x} <\epsilon
    \displaystyle 2^{-x} <2^{\log_2\epsilon}
    \displaystyle -x <\log_2\epsilon
    \displaystyle x >-\log_2\epsilon

    i quali sono infiniti punti

  4. La scomposizione della seconda:

    \displaystyle ( x - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)( x + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)( x + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)( x - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)

    spero sia corretta!

  5. Alberto Burato ha detto:

    3.
    prendendo la forma esplicita y=mx+q

    2 rette sono parallele se hanno lo stesso m,
    sono perpendicolari se m*m1=-1

  6. 6.

    \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {n^2}{n^2-1}= 1

    \displaystyle |\frac {n^2}{n^2-1}-1|<\epsilon

    \displaystyle |\frac {n^2-n^2+1}{n^2-1}|<\epsilon

    \displaystyle |\frac {1}{n^2-1}|<\epsilon

    *

    \displaystyle \frac {1}{n^2-1}<\epsilon

    \displaystyle 1 1 + \epsilon

    \displaystyle n^2 >\frac {1}{\epsilon}+1

    \displaystyle n >\sqrt{\frac {1}{\epsilon}+1}

    \displaystyle n < - \sqrt{\frac {1}{\epsilon}+1}

    *Essendo n^2 crescente, dato che per n=2 la frazione è positiva basta controllare solo per n= 0 e n=1 (scartato per C.E.). Con n=0 la frazione è uguale a -1 valore sempre minore di epsilon che è positivo, quindi vera per infiniti risultati.

  7. Matteo Alessandrini ha detto:

    Avrei una domanda: al quesito numero 2, rispondiamo usando le conoscenze sui numeri complessi?

  8. bobcarr ha detto:

    @edoardo

    si
    no

    @ahmed
    ok

  9. 4.
    -Si traccia/calcola la perpendicolare alla retta passante per il punto dato
    -Si trova il punto di intersezione fra la retta e la sua nuova perpendicolare
    -Si calcola la distanza fra il punto dato e il nuovo punto d’intersezione

    ma \bar{z}=-a-ib ?

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