Abstract Algebra [1]

Here we go:

Proposizione 1: Sia f: A \mapsto B una mappa.

  1. f è iniettiva se e solo se f ha una inversa sinistra
  2. f è suriettiva se e solo se f ha una inversa destra
  3. f è una biiezione se e solo se esiste g: B \mapsto A tale che f \circ g è la mappa identica su B e g \circ f è la mappa identica su A
  4. Se A e B sono insiemi finiti con lo stesso numero di elementi allora f: A \mapsto B è biiettiva se e solo se f è iniettiva, se e solo se f è suriettiva.

Ci proviamo?

p.s.

trovato libro, chi mi manda estremi dropbox che li ho dimenticati? (in email ovvio)

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5 risposte a Abstract Algebra [1]

  1. bobcarr ha detto:

    1) <- Se f ha inversa sinistra (diciamo g) allora f è iniettiva: se g è inversa sinistra allora per ogni x in A x=g(f(x) e quindi se x_1 x_2 anche g(f(x_1)) g(f(x_2)) e quindi f(x_1) f(x_2) perché altrimenti g non sarebbe univoca.

  2. bobcarr ha detto:

    @ahmed
    ora bisogna dimostrare l’inverso di 1) e cioè: se f ha una inversa sinistra allora è per forza iniettiva
    qui potrebbe andar bene il tuo ragionamento magari leggermente modificato
    riprova

  3. bobcarr ha detto:

    va be, ci provo:

    1) f iniettiva -> f ha inversa sinistra (inversa sinistra = g \circ f)

    quello che dobbiamo dimostrare è che esiste una funzione g inversa a sinistra, quindi la dobbiamo DEFINIRE; per definire una funzione dobbiamo dire cosa fa su ogni elemento del dominio, che nel nostro caso è B.
    Il problema è che f non è detto sia suriettiva e quindi abbiamo un problema: prendiamo un y qualsiasi in B, se y \in f(A) allora esiste un unico a in A tale che y=f(a) e quindi possiamo definire UNIVOCAMENTE g(y) = a ottenendo così: g(f(a)) = g(y) = a come vogliamo;
    se, invece, y \in B ma non in f(A) allora definiamo g(y) = a_0 dove a_0 è un elemento fissato una volta per tutte in A. In ogni caso, qualsiasi sia a in A la g riporta l’immagine in a e quindi è l’inversa.

  4. ahmedkouza ha detto:

    ma prof la prima (e quindi anche per le altre) si può anche intendere così? f ha una inversa destra se solo se f è iniettiva. Perché se si, si potrebbe dimostrare dicendo.
    Per assurdo si ponga f non iniettiva, quindi prendiamo due elementi con la stessa immagine. Se si volesse applicare la inversa destra (g°f)(x)=g(f(x)) la nostra g(x) non risulterebbe una funzione perché ha come immagine due valori distinti (i due valori che appunto hanno la stessa f(x)) ottenendo così un assurdo. Non è scritto benissimo, mi è venuta in mente e ho pensato di provare

    • bobcarr ha detto:

      diciamo che il ragionamento è giusto ma porta alla conclusione che se f non è iniettiva non posso definire l’inversa ma resta aperto il problema di come la definisco se f è INIETTIVA

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