M4.1112 Derivabilità e continuità

Chissà dove son continue  e derivabili …

Studiare la continuità e derivabilità  delle funzioni (C.E., studio continuità, studio derivabilità mediante limite rapporto incrementale nei punti sospetti oppure uso del t. di derivabilità):

  1. y=|x^3|
  2. \displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}} & \quad x\neq 0 \\ 0 & \quad x=0 \end{cases}
  3. \displaystyle g(x) = \begin{cases} e^{-x} +1 & \quad x \leq 0 \\ 2+ x \ln x & \quad x>0 \end{cases}
  4. \displaystyle h(x) = \begin{cases} 1+x & \quad x \leq 0 \\ x & \quad 0<x<1 \\ 2-x & \quad 1 \leq x \leq 2 \\ 3x-x^2 & \quad x >2 \end{cases}
at work boys.
  1. \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^2+1}{x^2} \right )^{x^2+1}
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8 risposte a M4.1112 Derivabilità e continuità

  1. Matteo girardo ha detto:

    qualcuno sa i risultati del rapporto incrementale della prima??

  2. edoardobastianetto ha detto:

    2) La prima sotto funzione è continua per il teorema del quoziente,somma, elevamento e perchè e è una costante. La seconda è costante quindi continua. Però ci potrebbero essere problemi attorno a 0.

    Calcolo i limiti:

    \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{1+e^{1/x}} = \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} \frac{0}{1+e^{- \inf}}=0
    \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1+e^{1/x}} = \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{0}{1+e^{+ \inf}}=0

    La discontinuità è di terza specie ma in 0 la funzione punta di nuovo in 0 quindi è continua.

    Derivabilità in 0

    \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0^{-}} \frac{0+\triangle x}{1+e^{\frac{1}{0+\triangle x}}}=0

    \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0^{+}} \frac{0+\triangle x}{1+e^{\frac{1}{0+\triangle x}}}=0

    E’ continua e derivabile in 0

  3. ahmedkouza ha detto:

    3) continuità: le due funzioni secondarie sono continue grazie ai teoremi della somma, prodotto e perché fanno uso di funzioni di cui abbiamo già verificato la continuità. i problemi vengono dati in prossimità di 0 quindi si procede col limite destro e sinistro:

    \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} e^{-x}+1=2
    \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} 2+x \ln x=2

    quindi possiamo affermare che in 0 è continua.

    derivabilità: osserviamo ora la derivata in prossimità di 0
    \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0} \frac{e^{-\triangle x}+1-1-1}{\triangle x}=-1
    \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0} \frac{2+\triangle x \ln \triangle x-2}{\triangle x}=-\inf

    quindi non derivabile

  4. Matteo Alessandrini ha detto:

    1)
    C.E. \forall x
    E’ continua.
    Derivabilità:
    \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle x^2+3x_{0}^2+3\triangle xx_{0}}{\triangle x}=3x_{0}^2

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