Abstract Algebra [2]

Groups of groups:

Esercizi:

  1. Quali delle seguenti operazioni binarie sono associative:
  • a) l’operazione * su Z definita da: a*b= a-b
  • b) l’operazione * definita su R da: a*b= a+b+ab
  • c) l’operazione * definita su Q da: a*b= \frac{a+b}{5}
  • d) l’operazione * definita su Z \times Z da: a*b = \frac{a}{b}
  1. Quali operazioni dell’esercizio precedente sono commutative?
  2. Dimostrare che Z/nZ con l’operazione di somma di classi è un gruppo.
  3. Dimostrare che Z/nZ con l’operazione di prodotto di classi NON è un gruppo.
  4. Quali dei seguenti insiemi dotati dell’operazione di somma, sono gruppi:
  • a) insieme dei razionali con denominatore dispari
  • b) insieme dei razionali con denominatore pari
  • c) insieme dei razionali x con |x| <1
  • d) insieme dei razionali x con |x| \geq 1 insieme allo 0
  • e) insieme dei razionali con denominatore al max = 2
  • f) insieme dei razionali con denominatore al max = 3

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6 risposte a Abstract Algebra [2]

  1. bobcarr ha detto:

    4.d) non è chiuso rispetto alla somma (?)
    3. non è un gruppo poichè 0 non ha inverso

  2. bobcarr ha detto:

    4.c) non è certamente gruppo poiché non è chiuso rispetto alla somma: es \frac{3}{4} + \frac{3}{4} > 1

  3. bobcarr ha detto:

    4.a) E’ un gruppo, infatti: l’insieme è chiuso rispetto all’operazione di somma: la somma di 2 numeri con den. dispari è un num. con den. dispari (il prodotto di 2 dispari è dispari) e non sarà mai possibile far comparire un fattore 2 al denominatore.
    La somma è ovviamente associativa perché è la stessa somma di numeri razionali qualsiasi.
    L’elemento neutro è 0 (0/1)
    I’opposto di a/b è -a/b

  4. ahmedkouza ha detto:

    1.c) Credo che non sia associativa perché:
    – Membro sinistro \displaystyle a*(b*c)=a* \frac{b+c}{5} = \frac{a+\frac{b+c}{5}}{5}=5a+b+c

    – Membro destro \displaystyle (a*b)*c= \frac{a+b}{5}*c = \frac{c+\frac{a+b}{5}}{5}=a+b+5c

  5. bobcarr ha detto:

    ES. 1.a) l’operazione NON è associativa. Infatti per esserlo dovrebbe essere : a*(b*c) = (a*b)*c; il membro di sinistra, per definizione, é: a*(b*c) = a*(b-c) = a-b+c; il membro di destra invece: (a*b)*c = (a-b)*c = a-b-c che sono palesemente diversi. cvd

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