Esercizi topologia.
Studiare i seguenti insiemi di numeri reali.
![A= ]0,1]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3D+%5D0%2C1%5D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
![B= ]0,1[ \bigcup ]1,2[](https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%3D+%5D0%2C1%5B+%5Cbigcup+%5D1%2C2%5B&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
![C = [2,5] \bigcap ]2,5[](https://s0.wp.com/latex.php?latex=C+%3D+%5B2%2C5%5D+%5Cbigcap+%5D2%2C5%5B&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Dimostrare che un insieme finito non ha punti di accumulazione.
Scrivere un’insieme che non ha alcun punto di accumulazione.
Scrivere un’insieme i cui punti sono tutti di accumulazione.
In teoria 
Salve Prof
volevo sapere perchè nella funzione x / (x+1) con x che tende all’infinito e quindi lim=1 posso togliere il denominatore e invece nella funzione x / (x+1) con x che tende a -infinito e quindi lim=1 devo tenerlo?????
e un’altra cosa nel caso in cui il limite sia – infinito lei ci ha detto di usare la formula
f(x)<M
ma sul libro dicono
f(x)<-M
quale è giusta??
il limite non c’entra, è il segno della disequazione che conta
io ho detto di usare esattamente la formula del libro, forse non hai visto il meno
1) è un intervallo aperto e limitato, Acc(A)=[0,1] estremo inf= 0 massimo=1;
2) insieme aperto, limitato, Acc(B)=[0,2] estr inf= 0 estr sup=2;
3)C=]2,5[ intervallo aperto e limitato, Acc(C)= [2,5];
4) è tardi.. a parole posso dire che un insieme finito non può avere punti di accumulazione perchè ogni punto può avere infiniti intorni che non contengono elementi di codesto insieme;
5) per esempio: A={ x € R | x=1+n, n € N };
6) per esempio: B=]1,5[ U [8,10[;
e come sarebbero i punti di accumulazione?
conviene pensarci
ho pensato ma secondo me per l’insieme A B C vanno bene tutti
più di tutti
non capisco come facciano ad andare bene altri numeri non appartenenti all’insieme…
ok va tutto bene salvo la dim dell’estremo inf che andrebbe precisata meglio e non vanno bene i punti di acc di tutti gli esercizi
prof ho provato a risolvere gli es…
es 1.
è un intervallo limitato aperto a sx e chiuso a dx il valore max è 1 e non c’è il minimo.
0 è l’estremo inferiore che si dimostra ipotizzando che ci sia un numero 0+epsilon < x dove x è un elemento dell'insieme. Alla fine per assurdo troviamo che 0 + epsilon appartiene all'insieme e quindi si può dire che 0 è l'estremo inferiore.
Tutti i punti dell'insieme sono di accumulazione.
es 2.
unendo i due insiemi ottengo l'intervallo aperto 0<x<2 e x diverso da 1
quindi esistono un estremo inf e sup, rispettivamente 0 e 2(che si dimostra come nell'es1),
tutti i punti dell'insieme sono di accumulazione anche 1(che non appartiene all'insieme) perchè
1+epsilon e 1-epsilon appartengono all'insieme e quindi 1 è di accumulazione.
es3.
intersecando i due intervalli uno aperto e uno chiuso ho ]2,5[ un intervallo aperto e limitato con est inf e sup, rispettivamente 2 e 5.(che si dimostra come nell'es1)
anche qui tutti i punti sono di accumulazione.
es 4-5.
se prendo l'insieme A={1,2,3} se li disegno su una retta mi accorgo che l'insieme è formato da tre punti isolati e se prendo un qualsiasi intorno di un punto non cadono infiniti punti dell'insieme.
es 6.
un insieme i cui punti sono tutti di accumulazione può essere ]1,2[